Алгоритмы управления промышленными роботами

 

При реализации алгоритмов управления промышленными роботами составляется математическое описание действующих на робот-манипулятор сил и крутящих моментов в форме уравнений движения. Эти уравнения движения применяются для построения динамической модели манипулятора с целью определения законов управления приводами и для построения критериев качества кинематической схемы манипулятора.

Алгоритмы управления роботами-манипуляторами основаны на решения прямой обратной задач динамики робота-манипулятора. Прямая задача динамики для робота-манипулятора состоит в том, чтобы по заданным силам и крутящим моментам, приложенным к сочленениям со стороны приводов определить обобщенные координаты, скорости и ускорения звеньев.

Рисунок 4.1- Прямая и обратная задача динамики для
робота-манипулятора

 

В частности в соответствии с рисунком 4.1 прямая задача динамики состоит в том, чтобы по известному крутящему моменту t, приложенному к первому сочленению манипулятора, и известному усилию F приложенному ко второму сочленению манипулятора, найти угол поворота q, угловую скорость и угловое ускорение  первого сочленения и линейное перемещение x, линейную скорость  и линейное ускорение  второго сочленения.

Известны: t и F.

Найти: q, , , x, , .

 

Обратная задача динамики состоит в том, чтоб по заданным координатам, скоростям и ускорениям сочленений найти величину крутящих моментов и сил приложенных к сочленениям манипулятора со стороны приводов.

В частности в соответствии с рисунком 4.1 обратная задача динамики состоит в том, чтобы по известным углу поворота q, угловой скорости и угловому ускорению  первого сочленения, линейному перемещению x, линейной скорости  и линейному ускорению  второго сочленения найти крутящий моменту t, приложенный к первому сочленению манипулятора, и усилие F приложенное ко второму сочленению манипулятора.

Известны: q, , , x, , .

Найти: t и F.

 

4.1 Описание динамики роботов-манипуляторов уравнением Лагранжа-Эйлера

Метод Лагранжа-Эйлера основан на применении уравнения динамики известного из теоретической механики

                                .                        (4.1)

где n - число степеней свободы манипулятора, L=K-P - функция Лагранжа представляющая собой, разность между кинетической K и потенциальной P энергиями манипулятора, t _i - обобщенные моменты (либо силы) создаваемые в i -том сочленении силовыми приводами, q_i - обобщенные координаты манипулятора.

При составлении математического описания параметров звеньев и сочленений обычно используется представление Денавита-Хартенберга, соответственно обобщенные координаты манипулятора равны:

                ,         (4.2)

где q _i - угол поворота i -того звена, d_i - расстояние между смежными i- 1 и i -тым звеньями манипулятора.

С учетом (4.2) и специфики представления Денавита-Хартенберга для роботов-манипуляторов уравнение (4.1) может быть записано в виде

                                ,                        (4.3)

где D_i - матрица размерности n ´ n характеризующая инерциальные свойства i -того звена манипулятора, h_i - вектор размерностью n ´1 характеризующий центробежные и кореолисовы силы действующие на i -тое звена манипулятора, с_i - вектор размерностью n ´1 характеризующий силу тяжести действующую на i -тое звена манипулятора.

Уравнение (4.3) может быть эффективно использовано для решения прямой и обратной задачи динамики в алгоритмах управления роботами-манипуляторами. При этом прямая задача динамики манипулятора переформулируется следующим образом.

Известны: t _i.

Найти: .

Решение выполняется путем подстановки известных величин t _i в уравнении (4.3) с последующим численным интегрированием этого уравнения с целью определения искомых законов изменения .

Обратная задача динамики манипулятора переформулируется следующим образом.

Известны:

Найти: t _i.

Решение выполняется путем подстановки известных  в уравнение (4.3) с последующим вычислением искомых величин обобщенных моментов t _i.

 

4.2 Описание динамики с использованием роботов-манипуляторов уравнений Ньютона-Эйлера

 

Данный подход к алгоритмическому описанию динамики роботов-манипуляторов основан на известном из теоретической механики принципе д¢Аламбера: алгебраическая сумма всех внешних сил и сил инерции приложенных к манипулятору равна нулю.

                        F_i = m_ia_i, ,   i =1,…, n                  (4.4)

где F_i - сила действующая со стороны привода на i -тое звено манипулятора, m_i -масса i -того звена манипулятора, a_i -линейное ускорение i -того звена манипулятора, N_i - крутящий момент приложенный со стороны привода к i -тому звену манипулятора, I_i - момент инерции i -того звена манипулятора, w _i - угловая скорость i -того звена манипулятора, - угловое ускорение i -того звена манипулятора, n - число степеней свободы манипулятора. Отметим, что произведение  представляет собой силу инерции, приложенную к i -тому звену манипулятора, а символом (´) обозначено векторное произведение.

Алгоритм определения сил и крутящих моментов в сочленениях состоит из двух циклов: прямого и обратного.

 

 

1 Прямом цикл i = 1,2,…, n.

1.1 Вычисляются угловые скорости вращательных звеньев w _i.

1.2 Вычисляются угловые ускорения вращательных звеньев .

1.3 Вычисляются линейные ускорения поступательно движущихся звеньев .

1.4 Вычисляются линейные ускорения центра масс звеньев по формуле:

                                 ,                          (4.5)

 

 

2 Обратный цикл i = n, n- 1,…, 2, 1.

2.1 Вычисляются силы действующие на поступательно движущихся звенья

                                                 F_i = m_ia_i,

2.2 Вычисляются крутящие моменты приложенные к вращательным звеньям

                                       ,                                       

2.3 Вычисляются силы приложенные к звеньям

                                                f_i = F_i + f _i+1,

2.4 Вычисляются крутящие моменты приложенные к звеньям

                                 n_i = n_{i +1}+ p_i ´ f_{i +1} +(p_i + s_i)´ F_i + V_i,                                 

где p_i -положение начала i -той системы координат относительно начала i -1 системы координат, s_i - положение центра масс i -того звена относительно системы координат (x_i, y_i, z_i).

2.5 Вычисляются искомые значения величин обобщенных моментов t _i

              ,

где z_{i -1}- вектор определяющий ось i- 1 сочленения.

 

Основным достоинством алгоритма на основе уравнений Ньютона-Эйлера является его высокая вычислительная эффективность. Основной областью применения алгоритма являются расчеты крутящих моментов для сочленений манипулятора.

 

Планирование траекторий промышленных роботов-манипуляторов

Траектория робота манипулятора это последовательность точек пространства, в которых заданы положение и ориентация технологического инструмента манипулятора, причем существует пространственная кривая, соединяющая эти точки.

Траектория технологического инструмента это кривая, вдоль которой движется технологический инструмент из начального положения в конечное.

Планирование траектории манипулятора включает следующие элементы:

1 Аппроксимация или интерполяция выбранной траектории полиномом некоторого класса.

2 Выбор последовательности опорных точек, в которых производится коррекция параметров движения манипулятора от начальной к конечной точке траектории.

 

 

Рисунок 5.1 Блок схема планировщика траектории

 

Блок схема планировщика траектории приведена на рисунке 5.1. На рисунке использованы следующие обозначения: ПТ – планировщик траекторий; ХТ – характеристики траекторий; ОТ – ограничения траекторий; ОДМ - ограничения динамики манипулятора; q (t), q ¢(t), q ¢(t) – углы в сочленениях, угловые скорости и угловые ускорения в сочлененях; p (t) – положение технологического инструмента; Ф(t) – ориентация технологического инструмента; V(t) – скорость технологического инструмента; Ω(t) – скорость изменения ориентации технологического инструмента.

Таким образом, входом планировщика траекторий являются переменные, характеризующие накладываемые на траекторию ограничения. Выходом планировщика является заданная во времени последовательность промежуточных точек, в которых определены положение, ориентация, скорость и ускорение технологического инструмента и через которые манипулятор должен пройти от начальной к конечной точке траектории.

 

5.1 Методы планирования траектории промышленных роботов-манипуляторов

 

Можно выделить следующих два подхода к планированию траекторий промышленных роботов-манипуляторов.

Первый подход предполагает, что человек-оператор задает точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых узловых точках траектории. Планировщик траектории при этом автоматически выбирает из некоторого класса функций, функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую ограничениям. Схематически такой метод показан на рисунке 5.2.

 

 

Рисунок 5.2- Планирование траектории по узловым точкам

 

Достоинство такого метода состоит в том, что планирование траектории производится в пространстве присоединенных координат. К недостаткам метода относят то, что человеку-оператору достаточно сложно сформировать последовательность узловых точек, особенно при наличии препятствий в рабочей зоне робота-манипулятора.

Второй подход предполагает, что человек-оператор задает желаемую траекторию робота-манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции. Например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Схематически такой метод показан на
рисунке 5.3.

 

 

Рисунок 5.3- Планирование траектории виде аналитически описываемой функции

 

Достоинство такого метода состоит в том, что ограничения задаются в декартовых координатах, а силовые приводы реализуют изменение присоединенных переменных. К недостаткам метода относят то, что имеется необходимость пересчета параметров ограничения из декартовых координат в пространство присоединённых переменных.

 

5.2 Алгоритмы планирования траектории промышленных роботов-манипуляторов

При планировании траекторий в пространстве присоединенных переменных задается зависимость от времени всех присоединенных переменных, их скоростей и ускорений. Алгоритм планирования траектории робота-манипулятора в пространстве присоединённых предполагает реализацию следующих шагов:

1 Принять начальное значение времени t = t ₀.

2 Перейти к следующему моменту времени t = t+ D t.

3 Определить заданное положение робота-манипулятора в пространстве присоединенных переменных в момент времени t.

4 Есили конечное значение времени достигнуто t = t _к, то закончить цикл, в противном случае перейти к щагу 2.

В качестве D t в данном алгоритме рассматривается интервал времени между двумя последовательными моментами коррекции параметров движения манипулятора.

Основными достоинствами такого алгоритма является то что задается последовательность переменных непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора, планирование траектории осуществляется в темпе реального времени, траектории в пространстве присоединённых переменных легче планировать.

К недостатку алгоритма планирования траекторий в пространстве присоединенных переменных относят сложность определения положения звеньев и технологического инструмента в процессе движения.

Алгоритм планирования траекторий робота-манипулятора в декартовых координатах предполагает реализацию следующих шагов:

1 Принять начальное значение времени t = t ₀.

2 Перейти к следующему моменту времени t = t+ D t.

3 Определить заданное положение и ориентацию технологического инструмента в декартовом пространстве H (t) в момент времени t, а также вектор присоединенных переменных соответствующий H (t):

                                              q= ikin (H (t))

где ikin (·)-функция решения обратной задачи кинематики.

4 Есили конечное значение времени достигнуто t = t _к, то закончить цикл, в противном случае перейти к щагу 2.

Отметим что матричная функция H (t) описывает положение и ориентацию технологического инструмента в базовой системе координат в момент времени t.