Преобразования плоскости

ФПР1

6.1. Отображение и преобразование множеств. Преобразование плоскости. Группы преобразований. Подгруппы группы преобразований.

Пусть X и Y – непустые множества. Говорят, что задано отображение f множества X во множество Y, если каждому элементу поставлен в соответствие определенный элемент . Если дано некоторое отображение , то элемент y=f (x) называется образом элемента , а х – прообразом элемента .

Если для любых двух различных элементов выполнено , то отображение f называется инъективным отображением или инъекцией. Если f (X)= Y, т.е. для любого элемента y из Y существует такой, что f (x)= y, то отображение f называется сюръективным отображением (сюръекцией). Если отображение одновременно является инъективным и сюръективным, то оно называется взаимно однозначным отображением множества X на множество Y или биективным отображением (биекцией).

Если , то отображение называется отображением множества Х на себя. Любое биективное отображение множества Х на себя называется преобразованием множества Х.

Обозначим - множество всех преобразований множества Х. Введем на множестве G операцию композиции преобразований следующим образом. Пусть . Каждому элементу поставим в соответствие элемент z такой, что y=f (x), z=g (y), тогда z=g (f (x)). Таким образом, определено новое преобразование множества Х, переводящее элемент х в элемент z, которое обозначается и называется композицией преобразований f и g:

. (1)

Преобразование , которое каждому элементу множества Х ставит в соответствие тот же элемент, называется тождественным. Преобразование называется обратным преобразованию , если .

Группой называется пара , где G – непустое множество, на котором задана бинарная операция (закон композиции) и выполнены следующие три условия (аксиомы):

1) Операция ассоциативна, т.е. для любых элементов имеем: .

2) В множестве G существует такой элемент e (нейтральный элемент), что : .

3) Для любого элемента существует элемент а^- ¹ (обратный элемент) такой, что .

Докажем, что множество преобразований множества G образует группу относительно операции композиции преобразований, т.е. для множества G и операции композиции преобразований выполнены условия 1)-3).

1) Пусть . Для любого имеем по определению композиции преобразований

и ,

Т.е. преобразования и переводят элемент в один и тот же элемент , значит, мы имеем не два преобразования, а одно

2) Положим . Очевидно, из определения тождественного преобразования следует : . Значит, тождественное преобразование id является нейтральным элементом.

3) Любое преобразование является биекцией множества Х на себя, поэтому существует обратное отображение , которое является преобразованием множества G, поэтому . По определению обратного отображения имеем: .

Пусть – группа и , . Если – группа, то она называется подгруппой группы . Непустое множество Н группы G является подгруппой этой группы, если выполнены два условия: