Основные определения

Векторная алгебра и анализ

2.4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Авторы: Кеда О.А., Л.П. Мохрачева, А.Ф. Рыбалко, Н.М.Рыбалко, Л.Ю. Трояновская.

Лекция 15. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.

Содержание:

1. Основные определения. ♦

2. Свойства дифференциалов. ♦

3. Геометрический смысл дифференциала. ♦

4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. ♦

5. Дифференциал сложной функции ♦

6. Производные высших порядков. ♦

7. Вторая производная от функции, заданной неявно. ♦

8. Вторая производная от параметрически заданной функции. ♦

9. Механический смысл второй производной. ♦

10.  Дифференциалы высших порядков. ♦

Основные определения.

Если функция  - дифференцируема на , то для любого  существует . Отношение  при  стремится к числу . Следовательно,  отличается от  на бесконечно малую : , причем , или .

Рассмотрим . В общем случае ,  - бесконечно малая величина первого порядка относительно  при .

Поскольку , то  - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

Определение1. Главная, линейная по  часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке  и обозначается .

Пусть . Тогда .

Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, . В общем случае: .

.

Производная может быть записана, как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (обозначения Лейбница):

 

▲ Свойства дифференциалов.

Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле , то справедливы обычные правила дифференцирования.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

▲ Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим функцию . Обозначения, приведенные на рисунке, соответствуют:

, ,  - касательная в точке .

Рассмотрим

, , .

Дифференциал функции  в точке  есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке .

▲ Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Метод основан на замене приращения функции  приближенно дифференциалом этой функции: .

Таким образом, истинная функция на отрезке  заменяется линейной функцией, график которой – касательная в точке . Это возможно, так как  и  отличаются на бесконечно малую величину .

Если , , то .

ПРИМЕР.

Вычислить приближенно .

РЕШЕНИЕ.

Здесь , . Тогда ; .

Заменим ; ; ;

. Тогда .

▲ Дифференциал сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию  Пусть  – промежуточный аргумент: . , умножим это равенство на :

, .

Сравнение с  показывает, что дифференциал функции сохраняет свою форму независимо от того, является ли ее аргумент  независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом).

Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

▲ Производные высших порядков.

Производной второго порядка от функции  называется производная от ее первой производной. Обозначение: .

Производной -го порядка (или n –й производной)называется производная первого порядка от производной -го порядка: .

Также используют обозначение

ПРИМЕРЫ.

1) .

2) .

Правила вычисления производной п -го порядка.

1. .

2. Формула Лейбница (производная произведения):

, где  - число сочетаний из  по ,  (читается - факториал) определен для целых неотрицательных , причем , .

ПРИМЕР. Найдите производную n –го порядка от функции .

.

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена.

Вычисляем коэффициенты:

.

 

▲ Вторая производная от функции, заданной неявно.

Рассмотрим функцию , определяемую уравнением . Для отыскания второй производной соотношение  дифференцируем два раза по переменной , считая  функцией , и выражаем  как функцию  и .

ПРИМЕР. Найдем  для функции .

Дважды продифференцируем уравнение и выразим первую и вторую производную функции:

.

▲ Вторая производная от параметрически заданной функции.

Рассмотрим . Вторая производная

Иначе    

.

 

▲ Механический смысл второй производной.

Пусть  - закон движения тела, движущегося прямолинейно. Скорость тела  в данный момент времени: . Если движение неравномерно, то для приращения времени  приращение скорости составляет .

Тогда  - среднее ускорение тела за промежуток времени . При  получим ускорение в данный момент времени :

.

Таким образом,  − ускорение прямолинейного движения равно второй производной от перемещения по времени.

ПРИМЕР. Если , , .

▲ Дифференциалы высших порядков.

Пусть  - дифференцируемая функция, а ее аргумент  − независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал  также является функцией , от которой в свою очередь можно найти дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции  называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном .

;

Аналогично определяется дифференциал порядка n:  Можно показать, что  Здесь

 В приведенных формулах предполагалось, что - независимая переменная. Если  - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала будет другой, отличной от выражения  

Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть , ,  − независимая переменная.

Тогда

.

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала неинвариантна.