2020-04-12
150
Вопрос 1. Угол между векторами
Два вектора a⃗ и b⃗ всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
1. Острый угол
| 2. Тупой угол
| 3. Прямой угол (векторы перпендикулярны)
|
4. Угол величиной 0° (векторы сонаправлены)
| 5.Угол величиной 180° (векторы противоположно направлены)
| 6. Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0°. Угол между векторами записывают так: a⃗ ˆ b⃗ =α |
Вопрос 2. Формулы скалярного произведения векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a⃗⋅b⃗ =|a⃗ |⋅∣b⃗ ∣⋅ cos (a⃗ˆb⃗)
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число, соответственно, их произведение также будет являться числом.
Утверждения:
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0°, а косинус равен 1, скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180°. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен −1.
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай:
