2020-04-12
243
Обратное суждение: если скалярное произведение
векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
4. Вектор, умноженный на самого себя будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a⃗ 2.
Вопрос 3. Свойства скалярного произведения.
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1. a⃗ 2≥0, к тому же a⃗ 2>0 если a⃗ ≠0⃗.
2. Переместительный или коммутативный закон скалярного произведения: a⃗ ⋅b⃗ =b⃗⋅a⃗.
3. Распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения: (a⃗ +b⃗) ⋅c⃗ =a⃗ ⋅c⃗ +b⃗ ⋅c⃗.
4. Сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения: k ⋅ (a⃗ ⋅b⃗) = (k ⋅ a⃗) ⋅b⃗.
Вопрос 4. Использование формул при решении геометрических задач
Пример 1: Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
Решение: Используем формулу 
. В данном случае:
Ответ: 
Пример 2: Найти 
, если 
, а угол между векторами равен 
.
|
|
|
Решение:
Ответ: 
Пример 3: Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
Решение:
Ответ: 
Пример 4: Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если известно, что 
.
Решение:
Ответ: 
Пример 5: В равностороннем треугольнике 
длины сторон равны 1. Вычислить 
.
Пример 6: Вычислите скалярное произведение двух векторов 
и 
, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Решение:
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
.
Ответ: 
.
Пример 7: В прямоугольной системе координат заданы два вектора 
и 
, найдите их скалярное произведение.
Решение:
В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
Ответ: 
.
