Динамические уравнения аппарата, не содержащего движущихся масс

Динамические уравнения

1. Вывод динамических уравнений

2. Динамические уравнения аппарата, не содержащего движущихся масс

3. Динамические уравнения аппарата, содержащего движущиеся массы

Вывод динамических уравнений

Динамические уравнения углового движения космического аппарата выводятся на основании теоремы об изменении кинетического момента [?]

(1)

согласно которой полная производная по времени от кинетического момента космического аппарата относительно некоторой точки (как правило, центра масс аппарата) равна главному моменту системы внешних сил, действующих на аппарат (внешнему моменту), относительно той же точки. Внешний момент представляет собой сумму внешнего возмущающего момента и внешнего управляющего момента (обычно реактивной природы): .

Как известно из курса теоретической механики [?], кинетический момент тела зависит от его моментов инерции. Если рассматривать выражение (1) в проекциях на оси опорной системы координат , возникнет необходимость определять переменные моменты инерции с учетом параметров углового движения космического аппарата, которые сами подлежат определению по заданным внешним воздействиям. Чтобы избежать этого, следует проецировать векторы, входящие в (1) на оси связанной системы координат , выразив по формуле Бура полную производную от кинетического момента через его локальную производную:

(2)

Применение данной формулы оказывается различным в зависимости от того, имеются ли на борту космического аппарата подвижные элементы, поскольку при этом по-разному рассчитывается вектор .

Динамические уравнения аппарата, не содержащего движущихся масс

Если космический аппарат не содержит каких-либо движущихся масс, то его можно рассматривать как абсолютно твердое тело. Кинетический момент такого тела в выбранной системе координат рассчитывается по формуле [?]

(3)

где – матрица тензора инерции космического аппарата, определяемая осевыми , , и центробежными , , моментами инерции (запись приведена для базиса ):

Моменты инерции твердого тела вычисляются как суммы элементарных моментов инерции его частей с бесконечно малыми массами [?]:

Очевидно, при этом , , , , , . Тензор инерции космического аппарата, не содержащего движущихся масс, в связанной системе координат не меняется в процессе движения, если пренебречь возможным перераспределением масс (например, при выгорании топлива).

Подставив (3) в (2), можно записать динамические уравнения космического аппарата, не содержащего движущихся масс, в связанной системе координат:

(4)

Эти уравнения называются обобщенными динамическими уравнениями Эйлера.

Если оси связанной системы координат совпадают с главными центральными осями инерции космического аппарата, то есть , то уравнения (4) преобразуются в динамические уравнения Эйлера