Достаточное условие существования экстремума

Если  и при этом функция y = f(x) при переходе через точку x₀ в направлении возрастания аргумента меняет знак:   а) с плюса на минус;

                                                                   б) с минуса на плюс,            

то точка x₀ является:         а)                                                                                              ;

б)                                                                                              .

х = а –     .

;

 

х = b –     .

                                                                        ;

 

х = с –                                                                  .

                                                                        .

Задание 2. С помощью схематичного построения графиков определите точки локальных экстремумов функций у = х ² и у = -х ². Найдите вторые производные этих функций в точках локальных экстремумов.

Примечание. Второй производной функции называется производная, взятая от первой производной данной функции.

                                                                              

                                                                              

 

Второе достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция y = f(x) имеет в точке x₀ непрерывную первую и вторую производные,

причем                                                                 .

       Тогда функция имеет в точке x₀  локальный:

а) максимум, если                       ;

б) минимум, если                        .

IX. Асимптоты графика функции.

Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.

Вертикальная асимптота – прямая,               .

                                                                    .

х = а – вертикальная асимптота, если хотя бы один из односторонних пределов                   .

                                                                    .

 

 

Пример.

; х =      – вертикальная асимптота, так

как                                                                    .

 

 

Наклонная асимптота – это прямая вида                                 .

График функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x ® +¥ тогда и только тогда,

когда существуют два предела:                                             ;

                                                                                                             .

 

Аналогично определяется наклонная асимптота при x ® -¥.

Задание 3. Определите наклонную асимптоту для графика функции .