Проведение кривых через экспериментальные точки

Через экспериментальные точки всегда следует проводить самую простую кривую, совместимую с этими точками, т.е. кривую, от которой экспериментальные данные отступают, как правило (в 2/3 случаев), не более чем на стандартную ошибку. Не следует придавать кривым никаких изгибов, если экспериментальным данным, в пределах ошибок, можно удовлетворить и без этого. При проведении кривой нужно следить за тем, чтобы на каждом достаточно большом ее участке экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой.

Математическое правило построения кривых заключается в следующем. После того, как тип кривой (прямая, окружность, парабола, …) из тех или иных соображений (чаще всего теоретических) выбран, параметры кривой должны быть подобраны так, чтобы сумма квадратов отклонения от нее всех экспериментальных точек была наименьшей (метод "наименьших квадратов"). Пользоваться этим правилом при графическом проведении кривых через экспериментальные точки затруднительно, но при некотором опыте графически проведенные кривые сами собой оказываются почти оптимальными.

При графической обработке результатов следует помнить, что на глаз можно точно провести через экспериментальные точки только прямую линию. Поэтому при построении графика следует стремиться к тому, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии. Производя измерения, всегда следует заботиться о том, чтобы точки на графике, который потом будет построен, располагались достаточно равномерно.

К логарифмическому масштабу без особой необходимости прибегать не следует. Одна из наиболее часто встречающихся погрешностей опыта – смещение нуля отсчета – приводит в этом случае к сильному искажению прямолинейного характера кривой. Бывают, однако, случаи, когда логарифмический масштаб необходим. Это происходит, например, если исследуемая величина очень сильно изменяется, причем одновременно интересны очень малые и очень большие ее значения. Логарифмический масштаб позволяет все точки уместить на одном чертеже и исследовать совместно. Логарифмический масштаб выбирают и в том случае, если имеются основания ожидать, что искомая зависимость является степенной, но показатель степени неизвестен.

Определение искомых параметров по результатом измерений

Очень часто цель экспериментов заключается в том, чтобы из опыта найти неизвестный параметр в известной формуле. Правильным и удобным методом обработки результатов является графический метод (пример – рисунок 10). При

Рис. 10. Графический метод обработки результатов. Прямые со стрелками – определение

         модуля Юнга по единичному измерению. Прямая без стрелки – определение

         модуля Юнга графическим методом

 

обработке результатов студенты усредняют найденные значения при разных начальных условиях. Это плохой, математически некорректный метод. Разумно усреднять результаты только в том случае, если они являются равноточными и независимыми. Усредняемые величины определяются из опыта с разной достоверностью. При рекомендуемом методе обработки результатов учитываются все точки графика. При этом точки, лежащие по его краям, оказываются более существенными, как это должно быть. Математически этот способ эквивалентен методу "наименьших квадратов". Большим преимуществом графического метода является его простота.

Часто случается, что начальная точка искомой зависимости хорошо известна и лежит в начале координат. Тогда задача о проведении наилучшей прямой сводится к подбору параметра в формуле . В общем случае нужно найти параметры a и b в формуле .

Чтобы найти погрешность в определении параметра а, нужно смещать прямую вниз параллельно самой себе, пока выше нее не окажется вдвое больше точек, чем снизу. Затем следует сместить ее вверх, пока снизу не окажется вдвое больше точек, чем сверху. Если расстояние между прямыми равно Δ_a, погрешность определении а равна , где n – полное число точек на графике. Погрешность в определении параметра b находится аналогичным образом. "Рабочий участок" оси абсцисс делится на три равные части. Средний участок в дальнейшей работе не участвует. Для определения σ_b прямая поворачивается так, чтобы на левом участке выше нее оказалось вдвое больше точек, чем под ней, а на правом участке наоборот. Затем кривая поворачивается так, чтобы на левом участке 2/3 точек лежали ниже прямой, а на правом – выше нее. Обозначим разницу в угловых коэффициентах этих прямых через Δ_b. Тогда , где n – полное число точек на графике.

Приведем правило для нахождений стандартной погрешности при определении параметра k в формуле , т.е. при определении наклона прямой, проходящей через начало координат. "Рабочим участком" в этом случае является весь диапазон по оси Х от нуля до последней точки. Его следует разбить на три равные части и самую левую – ближнюю к началу координат – часть во внимание не принимать. Затем нужно провести через начало координат две прямые так, чтобы выше одной из них лежало 2/3 точек, а выше другой – 1/3. Различие в k между этими прямыми определяет Δ_k. Стандартная погрешность находится по формуле , где n – полное число точек на графике.