Контрольная работа №1

Задача 1. В ящике имеются a белых и b чёрных шаров. Найти вероятность того, что:

1. первый вынутый шар будет белым;

2. все вынутые из ящика k шаров будут черными;

3. среди вынутых из ящика k шаров будет n белых.

Значения a, b, k и n по вариантам представлены в таблице 13.1.

Таблица 13.1

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	9	8	7	6	10	9	8	7	6	5
b	5	6	7	8	5	6	7	8	9	8
k	4	5	5	4	3	4	5	6	6	5
n	2	3	4	3	2	2	3	4	5	2

 

Задача 2. Решить задачу согласно варианту (таблице 13.2.). На рисунках к задачам элементы, без которых работа системы невозможна, изображаются как звенья, соединенные «последовательно»; дублирующие друг друга элементы изображаются соединенными «параллельно». Надежность каждого элемента записывается в соответствующем прямоугольнике.

Таблица 13.2

№	Задача
1	При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти: 1) вероятность того, что двигатель начнет работать только при втором включении зажигания; 2) вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включить зажигание не более двух раз.
2	Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков (символов). При передаче каждый знак искажается (независимо от других) с вероятностью р. Для надежности сообщение дублируется (повторяется k раз). Найти вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке.

 

Продолжение таблицы 13.2

3	Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы цифра «6» появилась хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей 0.9.
4	Имеется радиолокационная система, состоящая из двух самостоятельных станций. Для выполнения задачи необходимо, чтобы хотя бы одна радиолокационная станция, входящая в систему работала безотказно. Требуется определить вероятность того, что система будет работать безотказно, если вероятность безотказной работы каждой радиолокационной станции в течение времени, необходимого для выполнения задания равна 0.9.
5	Вероятность безотказной работы блока, входящего в систему, в течение заданного времени составляет 0.8. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Требуется найти, какой станет вероятность безотказной работы блока с учетом резервного.
6	Прибор состоит из n блоков (рис.13.1). Выход из строя каждого блока означает выход из строя прибора в целом. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна р. Найти надежность Р прибора в целом. Какова должна быть надежность р1 каждого блока для обеспечения заданной надежности Р1 прибора?
7	Для повышения надежности прибора он дублируется точно таким же прибором (рис.13.2); надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность Р системы двух дублирующих друг друга приборов.
8	Прибор состоит из трех узлов. В первом узле n1 элементов, во втором n2 и в третьем n3. Для работы прибора безусловно необходим узел I; два других узла II иIII дублируют друг друга (рис.13.3). Надежность каждого элемента одна и та же и равна р. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти надежность прибора Р.
9	Для повышения надежности прибора он дублируется (n-1) другими такими же приборами (рис. 13.4); надежность каждого прибора р. Найти надежность Р системы. Сколько надо взять приборов, чтобы повысить надежность до заданной Р1?
10	Техническая система состоит из n блоков, надежность каждого р. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы. С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще n таких же блоков. Надежность переключающих устройств полная. Определить, какой способ дублирования дает большую надежность системы: а) дублирование каждого блока (рис. 13.5а); б) дублирование всей системы (рис.13.5б).

 

Задача 3. При установившемся технологическом процессе вероятность изготовления детали, удовлетворяющей требованиям стандарта, равна p. Найти вероятность того, что:

1. требованиям стандарта удовлетворяют ровно k деталей и не менее l деталей среди взятых наудачу n деталей.

2. среди взятых наудачу N=10n деталей требованиям стандарта удовлетворяют ровно K=10k и не менее L=10l деталей.

Значения p, n, k и l по вариантам представлены в таблице 13.3.

Таблица 13.3

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p	0.9	0.8	0.7	0.75	0.85	0.95	0.65	0.7	0.8	0.9
n	6	7	5	8	4	5	6	7	6	8
k	4	5	3	6	3	3	3	4	4	5
l	5	6	4	7	2	3	4	5	5	7

 

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x) (таблица 13.4). Требуется:

1. используя свойства функции распределения, найти коэффициент a;

2. найти плотность распределения вероятностей f(x);

3. построить графики функций распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f(x);

4. найти числовые характеристики случайной величины Х: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение;

5. найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания по модулю не более, чем на среднее квадратическое отклонение.

Таблица 13.4

№	F(x)	N	F(x)
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 5. Нормально распределенная случайная величина X задана параметрами a   и σ (.a- математическое ожидание, σ -среднеквадратическое отклонение).

1. запишите плотность распределения вероятностей и постройте её график;

2. найдите

3. найдите

Значения a, σ,α, β и δ по вариантам представлены в таблице 13.5.

 

Таблица 13.5

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	7	6	5	4	3	2	1	-1	-2	-3
σ	2	3	4	5	2	3	4	5	2	3
α	4	4	2	0	-2	-1	0	0	-3	-3
β	8	9	8	5	4	4	5	5	0	4
δ	3	4	3	6	2	2	3	6	3	5