Поле равномерно заряженного кругового цилиндра

Логарифмический потенциал

Электрическое поле равномерно заряженной прямой

Пусть бесконечно длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью . Электрическое поле одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных нити, и обладает осевой симметрией. Совместим ось цилиндрической системы координат с заряженной нитью (рис. 15), тогда

Δl

Рис. 15. Заряженная нить и воображаемая цилиндрическая поверхность

Выделим участок заряженной нити длиной и построим вокруг него круговой цилиндр так, чтобы его ось совпала с нитью. Применим к поверхности цилиндра электростатическую теорему Гаусса:

На торцах цилиндра векторы напряженности и нормали перпендикулярны, потоки электрического поля сквозь поверхности и равны нулю. Следовательно,

В итоге

где – расстояние от заряженной оси до точки поля. Выберем точку нулевого потенциала на расстоянии r₀ от оси; потенциал электрического поля равен

Если точку нулевого потенциала не фиксировать, то

(16)

Поле равномерно заряженного кругового цилиндра

Пусть ось цилиндрической системы координат совпадает с осью бесконечно длинного цилиндра радиуса r₀, заряженного с объемной плотностью ρ. Электрическое поле обладает осевой симметрией (рис. 16).

Рис. 16. Поперечное сечение заряженного цилиндра и воображаемой цилиндрической поверхности

Построим воображаемый цилиндр длиной вдоль оси радиусом . Применим к его поверхности электростатическую теорему Гаусса. Поток электрического поля сквозь основания этого цилиндра равен нулю. Внутри него содержится заряд . Следовательно,

Таким образом,

На оси заряженного цилиндра E=0; на его поверхности

где – заряд, приходящийся на единицу длины заряженного цилиндра.

Чтобы определить напряженность электрического поля вне заряженного цилиндра, нужно применить теорему Гаусса к воображаемой цилиндрической поверхности радиуса и длинной .