Физический смысл криволинейного интеграла второго рода

Пусть точка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой в направлении от точки к точке . Если и координаты силы в каждой точке кривой , то работа силы при перемещении точки по кривой по направлению от к .

(рис. 3.3)

4. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Определение 5.3 Область плоскости называется односвязной, если для любой замкнутой кривой , принадлежащей области , область , ограниченная кривой , целиком лежит в области .

(рис. 3.4) (рис. 3.5)

Иначе говоря, односвязность области означает отсутствие «дыр».

Теорема 5.2.

Пусть функции и определены и непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой замкнутой односвязной области . Тогда следующие четыре условия эквивалентны:

1.)Для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой , расположенной в области ,

2.)Для любых двух точек и области значение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в ;

3.)Выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции, т.е. существует такая функция , определенная в , что

4.)В области D всюду справедливо равенство:

(1)

Эквивалентность приведенных четырех условий означает, что из справедливости любого одного условия следует справедливость остальных.

Для доказательства теоремы 5.2. воспользуемся следующей схемой: .

Первый этап:1=>2. Пусть произвольные точки области

(рис. 3.6)

Из точки в можно прийти по разным кривым, соединяющим эти две точки и целиком лежащим в области . Пусть и две кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки и . Тогда кривая кусочно-гладкая, замкнутая кривая, целиком лежащая в области . Cогласно условию 1:

С другой стороны,

Следовательно,

т.е. условие 2.) выполняется.

Второй этап: 2=>3. Пусть интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от точек и .

Фиксируем точку = области .

(рис. 3.7)

Тогда интеграл будет некоторой функцией координат и точки

Покажем, что функция дифференцируема и что

(2)

Для этого достаточно доказать, что в каждой точке области существуют частные производные , причем

, (3)

Так как и непрерывны в , то из (3) следует дифференцируемость функции и равенство (2).

Рассмотрим приращение функции в точке .Пусть - точка области .

Тогда:

= .

Так как по условию интеграл не зависит от кривой интегрирования, то возьмем путь от до прямолинейным, тогда

= =

Применим теорему о среднем и получим:

, где .

Откуда:

,, где .

Следовательно:

Итак, .

Аналогично доказывается, что . Тогда

= . Таким образом, выражение представляет полный дифференциал функции .

Докажем теперь, что 3=>4.

Итак, пусть в области определена некоторая дифференцируемая функция такая, что . Тогда , . Тогда из теоремы о равенстве смешанных производных следует, что . Т.е. .

Нам остается доказать, что 4=>1.

Итак пусть . Докажем, что для любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в области . Обозначим через область, ограниченную кривой L (здесь используется односвязность области )

Пользуясь формулой Грина, получим

Тем самым, теорема 5.2. доказана.

Замечание: Условия непрерывности функции , и их частных производных , являются существенными.

Пример. Рассмотрим интеграл

где – окружность радиуса с центром в начале координат.

Здесь , .

Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, зададим уравнение окружности: ,

Никакого противоречия тут нет. Просто не выполнено одно из условий теоремы: функции и , и их частные производные , не определены в точке (0, 0), а круг, ограниченный окружностью , с выброшенной точкой уже не является связной областью.

5. Потенциал векторного поля. Вычисление криволинейного интеграла с помощью потенциала.

Вернемся к теореме 5.2. Было доказано, что если функции и и их частные производные непрерывны в замкнутой области , то выражение является полным дифференциалом некоторой функции в области тогда и только тогда, когда

(4)

Было также доказано, что если равенство (4) выполнено, то условию

удовлетворяет функция

(5)

где , . При выполнении равенства (4) интеграл в правой части равенства (5) не зависит от пути интегрирования , а зависит лишь от точек и . Поэтому этот интеграл принято обозначать следующим образом

(6)

Определение 5.4. Дифференцируемую в области функцию будем называть потенциалом поля и

(7)

Поле , при этом, будем называть потенциальным.

Пусть потенциальное поле, т.е. выполняются равенства (7), тогда и .

Рассмотрим функцию и вычислим частные производные и .

, .

Следовательно, из чего следует, что , т.е.

или .

Взяв в последнем равенстве , учитывая , получим , т.е.

Если в этом равенстве положим , , то получим

Полученная формула аналогична формуле Ньютона-Лейбница, но справедлива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.

Исходя из приведённых рассуждений, теперь можно показать способ восстановления , полный дифференциал которого есть выражение .

Формула

(8)

где фиксированная точка, а – произвольная постоянная, и даёт возможность определить все функции, имеющие подынтегральное выражение своим полным дифференциалом.

Для отыскания по формуле (8) достаточно, выбрав любую точку в области D, вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки и . Так как в формуле (8) интеграл не зависит от выбора пути, то удобно, например, за путь интегрирования брать ломанную, звенья которой параллельны осям координат. Тогда