Скалярное и векторное поля

Скалярное поле. Пусть в области пространства определена функция , . Тогда будем говорить, что в области задано скалярное поле. Таким образом, скалярное поле задается с помощью функции , которая называется скалярное функцией.

Примером скалярное поля может служить поле температуры воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, температура выше, дальше от источника теплоты – ниже. Если окажется, что температура везде одинаковая, то в этом случае скалярное поле постоянно.

Векторное поле. Пусть в области пространства заданы функции , (, , ) где , и определён вектор с координатами { , } ({ , , }). Тогда { , } ( { , , }) задает в области векторное поле и называется векторной функцией.

Потенциальное поле. Рассмотрим некоторое скалярное поле в области . Если в каждой точке из определен вектор , то поле этого вектора называется потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенциальное поле, часто называют потенциальным вектором, т.е. вектор () потенциальный, если найдется такая скалярная функция , что

= ( = ) (1)

Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле (M) потенциальное.

Пусть в области и - проекции вектора на оси координат , соответственно, т.е.

В силу соотношения (1) векторное поле является потенциальным, если найдётся функция такая, что

(2)

В этом случае

В теореме 5.2 (о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования) было показано, что выражение (где , непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные первого порядка) полный дифференциал некоторой функции тогда и только тогда, когда и удовлетворяют условиям

(3)

Но если , то справедливы и равенства (2), т.е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле потенциальное. Функция в этом случае называется потенциальной функцией поля.

Градиент скалярного поля. Пусть в области в пространстве определена некоторая функция . Градиентом скалярного поля называется вектор составим формальный вектор . Определим произведение формального вектора на скалярную функцию – равенством . Таким образом,

Дивергенция векторного поля. Пусть в области задано векторное поле { , , }. Функции , , непрерывны вместе с частными производными. Дивергенцией векторного поля называется функция div , определяемая равенством