Уравнение Ван-дер-Поля с учетом кубической нелинейности консервативной силы

Занятие 2. 26.02.20.

Предельные циклы в уравнении Ван-дер-Поля

Общий вид:

Осреднённые уравнения (общий вид)

                                   

где  медленно меняющиеся амплитуда и фаза.

Рассмотрим уравнение (,  – малый параметр)

                                                                                                             

Построим осредненные уравнения для переменных Ван-дер-Поля. Вычисляя интегралы, получим

          

 

                               

Откуда осредненные уравнения будут

                                                                                                         

То есть

                                                                       

Амплитуда  остается постоянной (что соответствует периодическому решению), когда правая часть осредненного уравнения для амплитуды обращается в ноль, если  

                                                                                                                         

Таким образом, амплитуда предельного цикла автоколебаний равна

                                                                                                                                     

Покажем, что полученное периодическое решение устойчиво.

Действительно

                                   

и , равная нулю при , является при  убывающей функцией (здесь будет полезен график ).

Если  и амплитуда возрастает. Если  и амплитуда убывает, стремясь к значению .

Таким образом, получено, что уравнение Ван-дер-Поля  имеет устойчивое периодическое решение

                                           .

Замечание.

Особенностью нелинейных систем является возможность существования изолированных периодических режимов.

 

Ниже приведены некоторые результаты расчётов уравнения Вани-дер-Поля с устойчивым периодическим режимом

y"+y+0.1(y^2-1)y'=0, y(0)=1,y'(0)=0

y"+y+0.1(y^2-1)y'=0, y(0)=2.1,y'(0)=0

 

Видно, как траектория, начинаясь внутри или снаружи предельного цикла, наматывается на замкнутую кривую.

Если положить , то получим неустойчивое периодическое решение. Результаты посмотрите на графиках

y"+y-0.1(y^2-1)y'=0, y(0)=1.99,y'(0)=0

y"+y-0.1(y^2-1)y'=0, y(0)=2.1,y'(0)=0

 

Уравнение Ван-дер-Поля с учетом кубической нелинейности консервативной силы

Рассмотрим уравнение (,  – малый параметр)

                                          .

Осреднённые уравнения (общий вид)

                                   

Построим осредненные уравнения для переменных Ван-дер-Поля. Вычисляя интегралы, получим

 

 

 

То есть

                           .

Откуда осредненные уравнения будут

                                          

Правая часть осредненного уравнения для амплитуды обращается в ноль, если , то есть при

                                                       

Таким образом, амплитуда предельного цикла автоколебаний равна  Полученное периодическое решение устойчиво.

Действительно

             

и  является убывающей функцией. Если  и амплитуда возрастает. Если  и амплитуда убывает, стремясь к значению .

Частота колебаний равна

                                          

Таким образом, получено, что уравнение Ван-дер-Поля  имеет устойчивое периодическое решение

                                  .