С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета.
Он много путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков - Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории.
Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления.
Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу, Вандермонда и Кэли, которые и завершили создание основ линейной алгебры. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т.д.
|
|
Правило Крамера
Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Коэффициенты a11,12,..., a1n,..., an1 , b2,..., bn считаются заданными.
Вектор - строка x1, x2,..., xn - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.
Определитель n-го порядка D=∆=detA, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.
a). Если D≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера
, где
определитель n-го порядка ∆i (i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,..., bn.
б). Если D=0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна,т.е. решений нет.
Рассмотрим частные случаи нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
I.Система уравнений 2-го порядка
Запишем систему уравнений 2-го порядка в общем виде
Решение:
1. Построим и вычислим главный определитель системы
2. Построим и вычислим первый вспомогательный определитель системы
, тогда
3. Построим и вычислим второй вспомогательный определитель системы
, тогда
Пример 1:
Решить систему правилом Крамера
Решение:
Поэтому система имеет единственное решение.
Ответ: x=-1,5; y=2,5.
II. Система уравнений 3-го порядка.
Запишем систему уравнений 3-го порядка в общем виде
Решение:
1.Построим и вычислим главный определитель системы
2.Построим и вычислим первый вспомогательный определитель системы
|
|
,
тогда
3.Построим и вычислим второй вспомогательный определитель системы
,
тогда
4.Построим и вычислим третий вспомогательный определитель системы
,
тогда
Пример 9:
Решить систему правилом Крамера
Решение:
Поэтому система имеет единственное решение.
Ответ: x=-2; y=1; z=-1.
III. Система линейных уравнений с 4-мя неизвестными.
Для того, чтобы решить СЛАУ с 4-мя неизвестными необходимо ввести понятия минора определителя и алгебраического дополнения.
Определение: Минором Mij к элементу aij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Пример 1.
Найти миноры матрицы М22, М23.
Решение: Минор М22 получается путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых, находится данный элемент, т.е. 2-ой строки 2-го столбца.
Минор М23 получается путем вычеркивания 2 строки и 3-его столбца.
.
Остальные миноры находятся аналогично.
Введем понятие алгебраического дополнения.
Определение: Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij определителя n-го порядка называется число Aij = (-1)i + j · Mij.
Если рассмотреть проще, алгебраическое дополнение регулирует знак перед минором.
Пример 2.
Найти алгебраические дополнения матрицы А22, А23 .
.