Свойства сложения и умножения матрицы на число

Элементы линейной алгебры

 

Разработчик: Есенеева Э.С.
                             

ВВЕДЕНИЕ

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Для будущего специалиста любой отрасли изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит не только приобрести необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру.

Одним из основных разделов математики, где широко используются экономические методы решения задач, является раздел «Линейная алгебра». Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных, так как при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности.  Кроме этого около 75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это задачи из области экономики, статистики, электротехники, радиоэлектроники, механики и других.

Таким образом, элементы линейной алгебры позволяют описывать те или иные процессы, происходящие в различных сферах деятельности человека. Изучение данного раздела, умение составлять модели процессов с использованием систем линейных уравнений и матриц дает возможность использования полученных знаний в решении конкретных проблем, возникающих в будущей практической профессиональной деятельности.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Понятие матрицы

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков.

Матрица (размером m x n) - это таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы, и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы (A, B, C,..), а саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки.

Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами. Например: a_ij - элемент матрицы А, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции ( i,j ). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

 

Некоторые экономические зависимости удобно записывать в виде матриц. В пример приведем таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (в ус. ед).

Пример 1:

Ресурсы	Отрасли экономики
	Промышленность	Сельхозяйство
Электроэнергия	4,9	4,5
Трудовые ресурсы	3,1	3.9
Водные ресурсы	5,1	5,7

Эти данные в таблице можно представить в удобной форме в виде матрицы распределение ресурсов по отраслям:

В данном примере, матричный элемент а₁₁ показывает, какое количество электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а₂₂  - количество трудовых ресурсов в сельском хозяйстве.

Пример 2:

 матрица А размером 2 х 4.

 

 

матрица B размером 4 x 2.

 

 

Элементы a_ij, где i=j, называются диагональными, а элементы a_ij, где i≠j - внедиагональными.

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример 3:

нулевая матрица О.

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n) называется квадратной матрицей порядка n.

Пример 4:

квадратная матрица С порядка 3.

 

 

Определение: Матрица размера 1 x n называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера m x 1 называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

Пример 5:

    матрица-строка (1х3)

    матрица-столбец (3х1)

Определение: Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

 

Пример 6 :

	4	0	0		- диагональные элементы произвольные
	0	5	0
	0	0	0

1.2.1 Действия над матрицами.

1. Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц

названая матрица

Пример 1:

Аналогично определяется разность матриц.

2.Умножение на число:

Произведением  матрицы  на число k  называется такая матрица    элементы которой равны

Пример 2:

 

Матрица – А=(-1) называется противоположной матрице А.

Свойства сложения и умножения матрицы на число

· Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)

· A + Θ = Θ + A = A, где Θ - нулевая матрица

· A - A = Θ

· Коммутативность: A + B = B + A

· 1 · A = A

· 0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица

· k · (A + B) = k · A + k · B

· (k + n) · A = k · A + n · A

· (k · n) · A = k · (n · A)