Теоретические положения

       В работе рассматриваются процессы, протекающие в замкнутой импульсной системе, представленной на рис.4.1 с импульсным элементом (ИЭ), вырабатывающим последовательность импульсов, модулированную значениями сигнала отклонения (ошибки) системы x(t), в дискретные моменты времени (mТ, m=O,l,...N) и имеющую вид рис. 4.2, где Т - период квантования, Ти - продолжительность импульса.

 

 

                       ИЭ     

 

Рис.4.1                                                    Рис.4.2

 

 

           Сигнал (t)можно представить как выход идеального импульсного элемента (ИИЭ), вырабатывающего модулированную сигналом отклонения (ошибки) последовательность δ - функций x*(t), пропущенную через формирующее устройство с передаточной функцией

 

  (рис. 4.3).

 

               

 

               

 

                                          Рис.4.3

           Тогда замкнутая система рис.4.1 может быть представлена структурной схемой рис. 4.4 (а и б).

Y*(t)

X*(t)

     Рис. 4.а

 

                            -   

                                                                             

Рис.4.4б

           На рис.4.4 W_p*(p)) - дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы, которая может быть получена из непрерывной передаточной функции с использованием следующего перехода:

Wp(p)=Wфи(р)Wнч(р

 

где L - непрерывное, D - дискретное преобразование Лапласа; Т – период квантования.

           Проделаем этот переход для ,

          

,

где n - степень полинома А(р); p₁, p₂, … p_n - корни полинома А(р);

c_-1, c₀, c₁, …, c_n - коэффициенты, которые могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов или по формуле разложения.

       Весовая функция, соответствующая выражению в фигурных скобках, может быть записана в виде:

 

;

,

 

откуда легко получить:

 

           Приведением к общему знаменателю это выражение можно представить в виде отношения двух полиномов, а именно:

 

,

где n - степень полиномов.

           Передаточные функции замкнутой импульсной системы с единичной обратной связью (рис.4.4) можно рассчитать по формулам:

, ,

где А*(р) - характеристический полином замкнутой системы степени n вида     

.

           С использованием этих передаточных функций можно рассчитать установившиеся значения ошибок х_уст на основании предельной теоремы дискретного преобразования Лапласа

 

,

где U*(p) - дискретное преобразование Лапласа от входного сигнала.

       По передаточной функции замкнутой системы можно найти выходной сигнал в дискретные моменты времени с использованием разностного уравнения. При нулевых значениях входного и выходного сигналов для отрицательных моментов времени его можно получить из уравнения, записанного в изображениях с использованием дискретного преобразования Лапласа, которое имеет вид

;

или

Из вышеприведенного уравнения можно записать разностное уравнение:

или

           Используя характеристическое уравнение замкнутой импульсной системы А*(р) и производя подстановку

получаем характеристическое уравнение относительно переменной V (A(V)=0), для которого можно использовать критерий Гурвица, сформулированный  для непрерывных систем.

       По дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы могут быть получены выражения комплексного коэффициента усиления импульсной разомкнутой САР. Для этого в выражении W_p*(p) должна быть произведена замена оператора р на комплексное число jω и использована формула Эйлера

.

Годограф разомкнутой импульсной системы строится при изменении ω в диапазоне [0,ω₀/2], где ω₀ = 2π/Т - частота квантования сигнала. На рис.4.5 представлен пример годографа разомкнутой импульсной системы.

Годограф не охватывает точку с координатами (-1; j₀) и, следовательно, в соответствии с критерием Найквиста для устойчивой разомкнутой системы, соответствующая замкнутая импульсная система - устойчива и обладает некоторым запасом устойчивости по амплитуде ΔА, по которому можно найти значение предельного коэффициента усиления К_пред, с использованием пропорции:

К ~ (1-ΔА)

К_пред  ~   1. 

Коэффициент усиления разомкнутой импульсной системы определяется, исходя из следующих соотношений:

 

Подготовка к работе

           1. Для передаточной функции W_нч(p), заданной в табл.4.1, и формирователя прямоугольных импульсов с Тимп=Т=1с, найти весовую функцию и по ней определить дискретную передаточную функцию разомкнутой системы W*_p(p).

           2. Заменяя р на jω и используя формулу Эйлера, записать выражение комплексного коэффициента усиления импульсной разомкнутой системы и построить годограф, изменяя ω в диапазоне от 0 до ω₀/2. Определить устойчивость замкнутой системы и найти Кпред.

           3. Записать передаточную функцию замкнутой системы W*(p), найти по ней характеристическое уравнение и определить Кпред с использованием критерия Гурвица.

       4. Для К=0,75Кпред по W*(p) записать разностное уравнение и рассчитать переходную функцию замкнутой системы.

       5. Записать передаточную функцию замкнутой системы W₀*(p)  и вычислить значение установившейся ошибки х_уст для К=0,75 Кпред.