Теоретические положения

               

Для того чтобы система удовлетворяла требуемым показателям качества необходимо, как правило, введение в систему дополнительных связей или дополнительных корректирующих устройств. Из различных методов синтеза широко используются частотные характеристики, по которым исследуются устойчивость и качество переходного процесса, а также проводится выбор корректирующих устройств. Во многих случаях наиболее удобно применять логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой системы. Причём, при исследовании минимально-фазовых систем достаточно получить только одну амплитудную частотную характеристику. Фазовая частотная характеристика таких систем однозначно определяется их амплитудной характеристикой и наоборот.

Задача синтеза сводится к определению передаточной функции корректирующего устройства W_ку(p) в системе и места включения КУ. По месту включения корректирующего устройства в системе существуют три вида коррекции: последовательная, параллельная и коррекция с помощью обратной связи. Для выбора корректирующего устройства необходимо:

1. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ исходной системы

       L_исх(ω) = 20lg│W_{p исх}(jω)│ φ_исх(ω) = argW_{p исх}(jω).

2. Если исходная система не удовлетворяет заданным параметрам качества (см. лабораторную работу № 2), построить желаемую ЛАЧХ или ЛАЧХ скорректированной системы L_CK(ω).

       Построение желаемой ЛАЧХ скорректированной системы осуществляется с учётом следующих соображений:

- наклоны участков ЛАЧХ в области низких и высоких частот для скорректированной системы равны наклонам соответствующих участков ЛАЧХ исходной системы (исключением является случай, когда жёсткая обратная связь охватывает интегрирующее звено);

- при построении низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ следует учесть коэффициент усиления разомкнутой системы, который определяет ошибку системы в установившемся режиме, а его наклон определяется степенью астатизма системы ν (ν - разность числа интегрирующих и дифференцирующих звеньев). Величина частоты среза выбирается с учётом соотношения

- t_рег ≤ kπ/ω_c, где k=f(σ) [ 1 ];

- на частоте среза ω_c наклон желаемой ЛАЧХ необходимо задавать равным -20дб/дек. Протяжённость среднечастотного участка слева и справа от частоты среза должна быть равна 0.4 - 0.8 декады, что позволит обеспечить достаточный запас устойчивости по фазе и требуемое качество переходного процесса.

Желаемая ЛАЧХ скорректированной системы должна в возможно большем диапазоне частот совпадать с ЛАЧХ исходной системы, чтобы не усложнялась реализация корректирующего устройства. Если в качестве желаемой ЛАЧХ скорректированной системы может быть выбрана типовая ЛАЧХ, соответствующая системе, имеющей передаточную функцию вида:

 

,                                          (3.1)

где К>1; Т₁>Т₂>Т₃; α = 1 - 2; β = 1 - 2, то для её более точного построения можно использовать номограммы связи параметров ЛАЧХ разомкнутой системы с показателями качества процесса управления в замкнутой системе. В этом случае по заданным величинам быстродействия t_рег, перерегулирования σ находят ω₁/ω_c  и ω₃/ω_c (рис. 3.1).

 

 

Рис.3.1

 

           При построении желаемой ЛАЧХ можно использовать и другие номограммы и графики, которые дают связь между параметрами частотных характеристик и показателями качества. По виду L_CK(ω) восстанавливается передаточная функция скорректированной разомкнутой системы и строится ЛФЧХ φ_ск(ω). По логарифмическим характеристикам L_CK(ω) и φ_ск(ω) определяют запасы устойчивости и ошибку в установившемся режиме. Прямые показатели качества системы можно определить по переходной характеристике, построенной с помощью моделирования замкнутой системы на ЭВМ.

       В конечном итоге задача синтеза сводится к выбору параметров соответствующих корректирующих устройств, обеспечивающих достижение заданного качества переходного процесса в замкнутой системе. При последовательной коррекции корректирующее устройство включается в прямую цепь так, как показано на рис. 3.2.

Рис.3.2

           Соотношения для логарифмических частотных характеристик скорректированной системы следуют из очевидного равенства для

разомкнутой системы  и имеют вид

. (3.2)           Из (3.2) следует основное соотношение для определения L_ку(ω)
                                      .               (3.3)

Графические построения при последовательной коррекции представлены на рис.3.3.

 

Рис.3.3

           Далее по виду найденной ЛАЧХ корректирующего устройства (рис.3.3) определяется структура и параметры звена, включённого в прямую цепь управления.

       При параллельной коррекции корректирующее устройство включается параллельно какому-нибудь устройству исходной САУ (рис.3.4).

Рис.3.4

 

           Для параллельной коррекции справедливы следующие соотношения:

(3.4)

Обозначим                                .

 

Тогда из (3.4)                           ;

 

                                               .       (3.5)               

       Соотношения для логарифмических частотных характеристик скорректированной разомкнутой системы (рис.3.4) следуют из равенства:

                            и имеют вид:

,      .

           Из вышеизложенного следует порядок определения ЛАЧХ параллельного корректирующего устройства, заключающийся в построении L₀(ω) по аналогии с построением L_ky(ω) при последовательной коррекции, восстановлении передаточной функции W₀(p) по L₀(ω) и определении W_ky(ω) из соотношения (3.5).

       При коррекции с помощью обратной связи (ОС) корректирующее устройство охватывает одно или несколько устройств исходной САУ. Обычно обратной связью охватываются устройства системы, которые обладают наибольшими постоянными времени и имеют недостаточно стабильные, нелинейные характеристики (рис.3.5).

 

Рис.3.5

           В этом случае также используется графический метод на основе построения ЛАЧХ. Задача синтеза звена обратной связи решается несколько сложнее, чем в случае последовательного корректирующего устройства.

       Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы имеет вид

                                          ,               (3.6)

где W₂(p), W_ky(p) - передаточные функции части системы, охватываемой обратной связью и корректирующего устройства соответственно;

W₁(p) -      передаточная функция части системы, не охваченной корректирующей обратной связью.

 

       Рассматриваются две области частот, когда

           <<1 и >>1. В первом случае коррекция не оказывает существенного влияния на характеристики исходной системы и можно считать, что L_ск(ω) ≈ L_исх(ω) и φ_ск(ω) ≈ φ_исх(ω). Для второй частотной области справедливы следующие приближённые выражения:

           ,

откуда следуют соотношения:

L_ck(ω) = L_исх(ω) – [L_ky(ω) + L₂(ω)];

                                                                                         (3.7)

φ_ck(ω) = φ_исх(ω) – φ_ку(ω) – φ₂(ω).

Из (3.7) может быть получено выражение для определения

 

L_ky(ω) = L_oc(ω):   L_ky(ω) =  L_исх(ω) – L_ck(ω) - L₂(ω). (3.8)

 

При этом диапазон частот, в пределах которого в соответствии с (3.8) определяется L_ку(ω), ограничен условием [L_ky(ω) + L₂(ω)] >>0.

       Пример построения при выборе корректирующего устройства в цепи обратной связи приведен на рис.3.6.

 

Рис.3.6

       Таким образом, при выборе корректирующего устройства независимо от вида коррекции необходимо иметь передаточные функции исходной скорректированной систем.