double arrow

Определение и свойства линейного пространства.

1

Линейные пространства.

Возвращаясь к основным задачам для линейных систем, напомним, что существование и единственность решения доказаны лишь для частного случая квадратных систем с отличным от нуля определителем (для крамеровских систем). Получить аналогичный результат для общей линейной системы и ответить на остальные вопросы, сформулированные в лекции 1, мы сможем, опираясь на понятие линейного пространства, которое и введём в этой лекции.

           Линейные операции – сложение и умножение на число – могут выполняться над различными по природе объектами: числами, векторами, функциями, матрицами и т.д. Отвлечёмся от конкретной природы объектов и от привычного способа сложения и умножения на число, а также допустим в качестве множителей любые (не только вещественные) числа из некоторого числового поля . Сохраняя единую точку зрения на линейные операции и их свойства, приходим к понятию линейного пространства.

       Множество  элементов  любой природы называется линейным пространствомнад полем , если выполняются следующие требования:

1. Имеется правило, по которому  ставится в соответствие элемент , называемый суммой элементов ,  и обозначаемый .




2. Имеется правило, по которому  и  ставится в соответствие элемент , называемый произведением элемента  на число   и обозначаемый .

3. Эти правила подчинены аксиомам:

1°.  - коммутативность суммы,

2°.  - ассоциативность суммы,

3°.  - существование нуля и его особая роль при сложении,

4°.  - существование противоположного элемента,

5°.  - особая роль числового множителя ,

6°.  - ассоциативность относительно числовых множителей,

7°.    - дистрибутивность относительно суммы числовых множителей,

    - дистрибутивность относительно суммы элементов.

Приведём примеры конкретных линейных пространств.

Пример 1. Пространство  - множество векторов в трехмерном пространстве (вернее, множество радиус-векторов точек этого пространства). В  определены и операция сложения векторов - по правилу параллелограмма, и операция умножения вектора на вещественное число  - «растяжение» в  раз с изменением направления при . Справедливость всех аксиом устанавливается в курсе аналитической геометрии. Аналогичные множества на плоскости и на прямой будем обозначать  и .

       Но множество векторов, заполняющих не всю плоскость, а, например, только первую четверть, не образует линейного пространства, так как такое множество не содержит противоположных векторов. Не образуют линейного пространства и векторы на плоскости с выколотым началом координат или на плоскости с прямолинейной щелью, проходящей через начало координат (почему?).



       Пример 2. Пространство  - множество элементов, каждый из которых определяется совокупностью  чисел из некоторого поля : . Числа  называются координатами элемента . Операции сложения элементов  и умножения элемента  на число  определяются так:

.

Нулевой элемент - совокупность  нулей: . Противоположным для элемента  является элемент . Легко проверить, что все аксиомы выполняются. Пространство  называется -мерным координатным пространством.

       Пример 3. Пространство  - множество функций , непрерывных на сегменте . Сложение функций и умножение на число  производится по правилам анализа, нулевой элемент - это тождественно равная нулю функция. Выполнение аксиом 1° - 8° очевидно.

       Пример 4. Пространство  - множество многочленов степени, не превышающей , с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число.

Но если все коэффициенты многочлена положительны, то линейного пространства не получим (почему?).

Образует ли линейное пространство множество многочленов строго фиксированной степени n?

       Пример 5. Пространство  - множество всех положительных вещественных чисел. Сумму элементов   определим как произведение этих чисел (тогда нулевой элемент - число 1), произведение элемента  на вещественное число  определим ка степень  (тогда противоположный элемент - это число . Предлагаем убедиться в справедливости аксиом 1° - 8° для такого пространства.

       Пример 6. Замечательный пример линейного пространства даёт совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов понимаем их смешение, под умножением цвета на положительное число  - увеличение в  раз его интенсивности, под умножением на  - дополнительный цвет. Свойства этого линейного пространства используются в цветных телевизорах.



       Пример 7. Совокупность всех  матриц образует линейное пространство (почему?)

       Пример 8.  Рассмотрим однородную линейную систему, в матричной записи это . Пусть столбцы  - два решения этой системы. Свойства умножения матриц позволяют записать

,

т.е. решения однородной линейной системы можно складывать. Аналогично, если  - решение системы и , то

Значит, решение можно умножать на число . Нулевой элемент - это тривиальное решение, которым всегда обладает однородная система. Поэтому множество решений линейной однородной системы образует линейное пространство (с этим пространством мы ещё встретимся).

       Пример 9. Из курса дифференциальных уравнений: совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

 

       В каждом рассмотренном примере речь идёт о линейных операциях, определённых на некотором множестве, а вот на каком именно - совершенно не имеет значения. Совсем как у Алисы из страны чудес: “Ты видела когда-нибудь, как рисуют множество? - Множество чего? - спрашивает Алиса. - Ничего. Просто множество” Автор этих слов - математик Чарльз Лутвидж Доджсон (Льюис Кэррол), объектом исследований которого были системы линейных уравнений.

 

       Отметим некоторые свойства линейных пространств, являющихся логическими следствиями аксиом 1° - 8°.

       Теорема.Во всяком линейном пространстве

1) существует единственный нулевой элемент;

2) для  существует единственный противоположный элемент;

3) нулевой элемент равен произведению  на число 0;

4) для  противоположный элемент равен .

Докажем первое утверждение. Аксиома 3° устанавливает существование нулевого элемента во всяком линейном пространстве . Предположим, что в  существуют два нулевых элемента:  и . Полагая в аксиоме 3° сначала , , а затем , а , получим:

Доказательство остальных утверждений предлагаем провести самостоятельно.

Линейное пространство над полем вещественных чисел  называют вещественным линейным пространством и обозначают . Соответственно  - комплексное линейное пространство (над полем комплексных чисел ). Элементы линейного пространства обычно называют векторами(независимо от их природы).

Линейная зависимость

Пусть   - произвольное линейное пространство. Перенесём в него знакомое из векторной алгебры понятие линейной зависимости векторов.

Определение.Векторы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все одновременно равные нулю, что линейная комбинация данных векторов с этими числами даёт нулевой вектор пространства :

                                            (1)

Векторы  называются линейно независимыми, если равенство (1) выполняется только при .

 

Предлагается в качестве упражнения доказать следующие утверждения:

1. Наличие нулевого вектора в системе  влечёт линейную зависимость всей системы;

2. Наличие линейно зависимой подсистемы влечёт линейную зависимость всей системы;

3. Линейная независимость системы  наследуется любой её подсистемой;

4. Если векторы  линейно независимы, а вектор  есть их линейная комбинация , то это представление единственно;

5. Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных;

6. Верно ли утверждение: в случае линейной зависимости системы каждый вектор является линейной комбинацией остальных?

7.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.Показать, что в пространстве  ( -мерном координатном пространстве) векторы

                                                      (2)

линейно независимы.

Решение.Действительно, линейная комбинация векторов (2) с числами  в силу аксиом линейного пространства представляет собой вектор , который является нулевым лишь при условии . ♦

 

Пример 2. Рассмотреть вопрос о линейной зависимости в -мерном координатном пространстве  произвольных  векторов

                                        (3)

Решение.Равенство нулю линейной комбинации этих векторов с числами

,                                     (4)

записанное в координатной форме, приводит к однородной системе  линейных уравнений относительно  неизвестных :

.                              (5)

Однородная система (5) всегда имеет тривиальное решение

.

Если тривиальное решение является единственным, т.е. система (5) - а с ней и равенство (4) - удовлетворяется толькос нулевым набором чисел , то векторы  линейно независимы. Если же система (5) нетривиально совместна, т.е. кроме тривиального существует решение

,

то векторы  линейно зависимы. Иначе: линейная зависимость  векторов в пространстве  и нетривиальная совместность однородной системы  линейных уравнений с  неизвестными - это две стороны одной медали. ♦

 

       Пример 3.Показать, что в пространстве  многочленов, степень которых не выше 2, простейший набор линейно независимых векторов - это векторы .

Решение.Действительно, линейная комбинация  даёт тождественно равный нулю многочлен лишь при . ♦

 

       Пример 4. Убедиться, что в пространстве  многочленов, степень которых не выше , простейший набор линейно независимых векторов – это  (всего  векторов). ♦

 



1




Сейчас читают про: