Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение. Пусть функция определена в промежутке . Точку будем называть особой, если функция не ограничена в окрестности этой точки, но ограничена на любом , заключенном в (см. рис.).

Предполагается, что на любом , функция интегрируема. Тогда, как бы ни было мало , если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

В этом случае говорят, что интеграл (6) существует или сходится. Если же предел (5) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (6) не существует или расходится.

Аналогично, если точка — особая точка, то несобственный интеграл в этом случае определяется так:

Если не ограничена в окрестности какой-нибудь внутренней точки , то по определению полагают

при условии существования обоих интегралов справа.

Наконец, если и — особые точки, то в этом случае несобственный интеграл определяется как сумма

где — любая точка из , если оба интеграла справа существуют.

Пример.

а при

таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .

Признаки сходимости несобственных интегралов. Рассмотрим вопрос сходимости интегралов с бесконечными пределами интегрирования вида

Аналогичные рассуждения можно провести и для интегралов других видов.

Следующая теорема познакомит нас с одним из признаков сходимости несобственных интегралов.

Теорема 11 (признак сравнения несобственных интегралов). Если функции и непрерывны на полуинтервале и удовлетворяют на нем условию , то из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

а из расходимости интеграла (8) следует расходимость интеграла (7).

Доказательство. Так как интеграл (7) по условию сходится, то согласно теореме об ограниченности сходящейся последовательности (сходящаяся последовательность ограничена) это означает, что существует число такое, что для любого выполняется неравенство

Тогда, в силу данного условия и оценки 2°

А это означает, что функция

Монотонно возрастает и ограничена, т. е. имеет конечный предел при , и, следовательно, интеграл (8) сходится.

Если же (8) расходится, то, допустив сходимость интеграла (7), получим по только что доказанному сходимость интеграла (8), что противоречит условию. Окончательно получаем, что интеграл (7) также расходится.

Замечание. Что касается сходимости несобственных интегралов второго рода, то теория этих интегралов аналогична теории несобственных интегралов первого рода. В частности, признак сравнения для таких интегралов можно сформулировать следующим образом: если функции и непрерывны на полуинтервале и для всех точек в некоторой окрестности точки а выполняются условия , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости следует расходимость .