Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

Скалярное поле и его характеристики

1. Найти производную функции  в точке  в направлении .

Указать характер изменения скалярного поля в данном направлении.

Ответ:  скалярное поле в направлении вектора  в точке  убывает.

2. Найти производную функции  в точке  в направлении вектора ,

где . Указать характер изменения скалярного поля в направлении вектора .

Ответ:  скалярное поле в направлении вектора  в точке  убывает.

3. Найти скорость и направление быстрейшего возрастания функции  в точке

    .

Ответ:  - скорость быстрейшего возрастания скалярного поля в точке ;

 - направление быстрейшего возрастания скалярного поля в точке .

4. Найти производную функции  в точке  в направлении, образующем с

осями координат острые углы , если .

Ответ: .

 5. Найти производную функции   в точке  в направлении вектора ,

где . Указать характер изменения скалярного поля в данном направлении. 

Ответ:  скалярное поле в направлении вектора  в точке  возрастает.

6. Найти производную функции  в точке  в направлении .

Ответ: .

7.  Найти производную скалярного поля  в точке  в направлении

вектора , где . Сделать вывод о поведении поля.

Ответ:  скалярное поле в направлении вектора =  в точке  убывает.

8. Указать скорость и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля

  в точке .

  Ответ:  - скорость наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке ;

       -  направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке .

9. Найти производную скалярного поля   в направлении вектора

   в точке . Сделать вывод о поведении поля.

  Ответ:  скалярное поле в направлении вектора  в точке  возрастает.

10. Найти производную скалярного поля   в точке   в направлении,

  образующим с осями координат углы соответственно .

  Ответ: .

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги).

   Вычисление  и приложения

 

1. Найти массу параболы  от точки  до точки , если плотность в каждой точке

  параболы равна ординате этой точки.

Ответ: .

2. Найти массу дуги линии  , где ,

если плотность в каждой точке линии .

Ответ:  .

3.  Найти статический момент относительно оси  однородной  дуги от точки

до точки .

Ответ: .

4. Вычислить   по отрезку прямой   от точки  до точки .

Ответ: .

5.  Найти момент инерции относительно начала координат окружности ,

если плотность .

Ответ: .

6. Найти координаты центра тяжести однородной  половины окружности .

Ответ: .