2020-04-12
957
Пусть функция 
определена в области 
плоскости 
, а 
– заданная точка.
Определение 2.1. Число 
называется пределом функции 
в точке 
(или при стремлении точки 
к точке 
), если для любого числа 
найдется такое число 
, что для всех точек 
за исключением, быть может, точки , справедливо неравенство
.
Если число 
является пределом функции 
при стремлении точки 
к точке , то пишут
.
Основные теоремы о пределах функции одной переменной справедливы и для функций двух и большего числа переменных. Формулировки этих теорем приведем для функций двух переменных.
Теорема 2.1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.
Если 
, то
.
Будем предполагать, что функции 
и 
имеют пределы при стремлении точки 
к точке .
Теорема 2.2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
.
Теорема 2.2 справедлива для любого конечного числа функций.
Теорема 2.3. Предел разности двух функций равен разности пределов этих функций:
.
Из теорем 2.1 – 2.3 вытекает следующее утверждение:
Следствие 2.1. Пусть функции 
, …, 
имею пределы при стремлении точки к точке , а 
– произвольные постоянные. Тогда имеет место равенство
.
Теорема 2.4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
.
Теорема 2.5. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов:
,
если предел знаменателя не равен нулю 
.
Пример 2.1. Вычислитьпредел
.
Решение. Данное выражение представляет неопределенность вида 
. Так как данное выражение является положительным для всех 
, то
. (*)
Так как
,
то имеем
,
то есть
.
Отсюда, и из (*) получаем
.
Пример 2.2. Вычислитьпредел
.
Решение. Переходим к полярным координатам:
.
Тогда 
, 
и 
. Так как функция 
при всех 
является ограниченной, то имеем
.
В некоторых случаях при вычислении предела функции двух переменных используется следующий приём. Полагая 
, вместо предела функции двух переменных вычисляют предел функции одной переменной. Если значение предела при некоторых разных значений параметра 
будут различными, то рассматриваемый предел не существует.
Пример 2.3. Вычислитьпредел
.
Решение. Положим . Тогда
.
Так как
,
и эти значения различны, то рассматриваемый предел не существует.
Замечание. С помощью данного приёма только можно утверждать о не существования предела. Даже в том случае, когда значение предела не будет зависеть от параметра , нельзя утверждать что предел существует и равен значению предела, которого вычислили полагая .
