Предел функций нескольких переменных

Пусть функция  определена в области  плоскости , а  – заданная точка.

Определение 2.1. Число  называется пределом функции  в точке  (или при стремлении точки  к точке ), если для любого числа  найдется такое число , что для всех точек  за исключением, быть может, точки , справедливо неравенство

.

Если число  является пределом функции  при стремлении точки  к точке , то пишут

.

Основные теоремы о пределах функции одной переменной справедливы и для функций двух и большего числа переменных. Формулировки этих теорем приведем для функций двух переменных.

Теорема 2.1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

Если , то

.

Будем предполагать, что функции  и  имеют пределы при стремлении точки  к точке .

Теорема 2.2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

.

Теорема 2.2 справедлива для любого конечного числа функций.

Теорема 2.3. Предел разности двух функций равен разности пределов этих функций:

.

Из теорем 2.1 – 2.3 вытекает следующее утверждение:

Следствие 2.1. Пусть функции , …,  имею пределы при стремлении точки  к точке , а  – произвольные постоянные. Тогда имеет место равенство

.

Теорема 2.4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

.

Теорема 2.5. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов:

,

если предел знаменателя не равен нулю .

Пример 2.1. Вычислитьпредел

.

Решение. Данное выражение представляет неопределенность вида . Так как данное выражение является положительным для всех , то

.                                     (*)

Так как

,

то имеем

,

то есть

.

Отсюда, и из (*) получаем

.

Пример 2.2. Вычислитьпредел

.

Решение. Переходим к полярным координатам:

.

Тогда ,  и . Так как функция  при всех  является ограниченной, то имеем

.

В некоторых случаях при вычислении предела функции двух переменных используется следующий приём. Полагая , вместо предела функции двух переменных вычисляют предел функции одной переменной. Если значение предела при некоторых разных значений параметра  будут различными, то рассматриваемый предел не существует.

Пример 2.3. Вычислитьпредел

.

Решение. Положим . Тогда

.

Так как

,

и эти значения различны, то рассматриваемый предел не существует.

Замечание. С помощью данного приёма только можно утверждать о не существования предела. Даже в том случае, когда значение предела не будет зависеть от параметра , нельзя утверждать что предел существует и равен значению предела, которого вычислили полагая .