Пусть на множестве плоскости задана функция двух переменных .
Определение 3.1. Функция называется непрерывной в точке , если:
1) она определена в точке и некоторой ее окрестности;
2) ее предел при стремлении точки к точке равен значению функции в точке
или .
Определение 3.2. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Определение 3.3. Точка называется точкой разрыва функции , если в ней нарушено хотя бы одно из условий 1), 2) определения 3.1.
Пример 3.1. Найти точки разрыва функции
.
Решение. Дробная функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль:
.
Данная функция имеет единственную точку разрыва: .
Пример 3.2. Найти точки разрыва функции
.
Решение. Функция синус определена на всей числовой прямой. Дробная функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль:
.
Все точки окружности радиуса 3 с центром в начале координат являются точками разрыва данной функции.
|
|
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Пусть – ограниченная замкнутая область.
Теорема 4.1. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области ограничена, то есть существует число , что
для всех .
Теорема 4.2. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она принимает в этой области свое наименьшее и наибольшее значения, то есть если
,
то сушествуют точки и такие, что
.
Теорема 4.3. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она принимает в этой области любое промежуточное значение между и , то есть если , то существует хотя бы одна точка такая, что
.