2020-04-12
189
Пусть на множестве 
плоскости 
задана функция двух переменных 
.
Определение 3.1. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если:
1) она определена в точке и некоторой ее окрестности;
2) ее предел при стремлении точки 
к точке равен значению функции 
в точке
или 
.
Определение 3.2. Функция 
называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Определение 3.3. Точка 
называется точкой разрыва функции 
, если в ней нарушено хотя бы одно из условий 1), 2) определения 3.1.
Пример 3.1. Найти точки разрыва функции
.
Решение. Дробная функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль:
.
Данная функция имеет единственную точку разрыва: 
.
Пример 3.2. Найти точки разрыва функции
.
Решение. Функция синус определена на всей числовой прямой. Дробная функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль:
.
Все точки окружности радиуса 3 с центром в начале координат являются точками разрыва данной функции.
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Пусть 
– ограниченная замкнутая область.
Теорема 4.1. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области ограничена, то есть существует число 
, что
для всех 
.
Теорема 4.2. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она принимает в этой области свое наименьшее и наибольшее значения, то есть если
,
то сушествуют точки 
и 
такие, что
.
Теорема 4.3. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она принимает в этой области любое промежуточное значение между 
и 
, то есть если 
, то существует хотя бы одна точка 
такая, что
.
