Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой

Геометрия10_Приложение 1

Пирамида

Многогранник, одна грань которого является n -угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, n -угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.

 

В зависимости от количества сторон основания, пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

 

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.

 

Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:

 

1. первым рисуется основание,

2. по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,

3. вертикально проводится высота,

4. проводятся рёбра.

 

 

 

На рисунке изображена четырёхугольная пирамида SABCD

(первой пишут букву вершины).

 

Основание — четырёхугольник ABCD.

 

Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей O — основание высоты или проекция вершины.

 

SA, SB, SC, SD — рёбра пирамиды,

AB, BC, CD, DA — стороны основания.

 

В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:

- правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
- пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
- пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
- пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
- пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.

Углы пирамиды

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Запомни: двугранный угол образуется двумя перпендикулярами. На рисунке ∢OES.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.

 

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

На рисунке ∢OCS.

 

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.

На рисунке ∢DSC.

Формулы

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:

Sбок. =S1+S2+S3+....+

 

Площадь полной поверхности

Sполн.=Sосн.+Sбок.

 

Задача

Правильная пирамида

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

 

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники.

 

В средней школе нужно уметь решать задачи, где дана:

- правильная треугольная пирамида;

- правильная четырёхугольная пирамида;

- правильная шестиугольная пирамида.