IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке то на этом отрезке найдется такая точка , что

. (9)

Доказательство. Пусть a<b и m и M – наименьшее и наибольшее значения функции на интервале, тогда в силу (8)

или

Обозначим , причем . Поскольку непрерывна, она принимает все значения, заключенные между m и M (теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции). Следовательно, при некотором , т.е. - что и требовалось доказать.

Дадим наглядное геометрическое пояснение теоремы. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников и . Если прямая , параллельная оси 0x, смещается от положения к положению , то площадь меняется непрерывно и в некотором положении окажется в точности равной площади криволинейной трапеции. При этом прямая пересечет график функции в одной или нескольких точках Q с координатами .