IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЛАН ЛЕКЦИИ

I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

II. Свойства определенного интеграла

III. Оценка интеграла

IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции

I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Рассмотрим геометрическую задачу о вычислении площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми , , .

Предположим, что на отрезке , то есть трапеция расположена над осью 0x. Разделим основание трапеции на n частичных интервалов , точками деления .

Проводя в точках деления прямые, параллельные оси 0y, разобьем рассматриваемую криволинейную трапецию

на n частичных трапеций:

_.. Возьмем в каждом из частичных интервалов произвольную точку

так, что

._.

В точках (i =1… n) проведем прямые, параллельные оси 0y, до пересечения с графиком функции ; отрезки этих прямых соответственно равны . На частичных интервалах построим n прямоугольников с высотами и получим n -ступенчатую фигуру, показанную на рисунке. Площадь S_n этой фигуры зависит от того, каким образом произведено разделение отрезка на интервалы, и от того, каким образом были выбраны точки . Можно считать, что площадь S_n есть приближенное значение площади S криволинейной трапеции . Это приближение оказывается тем более точным, чем больше n и чем меньше длины частичных интервалов. Площадью криволинейной трапеции называют предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n при неограниченном возрастании n и стремлении к нулю наибольшей из длин частичных интервалов.

Если – длина i -ого конечного интервала, то условие предполагает бесконечное измельчение отрезка . Однако из того, что число точек деления , не следует, что , поскольку точки деления x_i могут быть выбраны произвольно. Если при измельчении отрезка одна из точек, например , фиксирована, то при этом длина отрезка не стремится к нулю, хотя . При этом площадь рассматриваемой ступенчатой фигуры и в пределе не станет равной площади криволинейной трапеции.

Запишем выражение для площади ступенчатой фигуры S_n как сумму площадей прямоугольников с основаниями и высотами :

Тогда в соответствии с определением площади криволинейной трапеции

. (1)

К пределам, аналогичным (1), приводят многие задачи физики и прикладных дисциплин (вычисление работы переменной силы, нахождение пройденного пути, вычисление массы и др.). Поэтому имеет смысл, отвлекаясь от физического смысла функции и переменной x, ввести соответствующее равенству (1) общее математическое понятие.

Определение. Если для функции , непрерывной на отрезке существует предел, к которому стремится n -ая интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных интервалов, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы, ни от выбора в них промежуточных точек, то его называют определенным интегралом и обозначают

. (2)

Как и в неопределенном интеграле, функцию называют подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, a – нижним и b – верхним пределами интегрирования.

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций, определенный интеграл есть число. Величина его зависит только от вида подынтегральной функции и пределов a и b, определяющих интервал интегрирования, но не от переменной интегрирования, поэтому справедливы равенства

Если для функции существует определенный интеграл , то эта функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [ a,b ].

Отметим без доказательства, что

1) всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке;

2) если ограниченная функция на отрезке имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке;

3) монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.

II. Свойства определенного интеграла. К свойствам определенного интеграла относят следующие.

1. Свойство линейности, связанное с операциями над функциями: определенный интеграл над линейной комбинацией функций на отрезке равен линейной комбинации определенных интегралов от этих функций на том же отрезке:

(3)

Доказательство. Воспользуемся определением интеграла для функции

2. Свойства, связанные с отрезками интегрирования:

а) (4)

б) (5)

в) если (6)

Доказательство. Поскольку для непрерывной функции предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения, можно считать, что точка с совпадает с одной и той же точкой деления. При этом интегральную сумму можно представить в виде

(7)

где в сумме Σ₁ собраны все интервалы деления от a до c, в сумме Σ₂ – от c до b и в сумме Σ – от a до b. Переходя в соотношении (7) к пределу, получим равенство, отражающее свойство (6), называемое аддитивностью определенного интеграла.

III. Оценка интеграла. Приведем некоторые теоремы, позволяющие проводить оценку определенного интеграла.

1. Если при всех , то .

2. Если на отрезке функции и удовлетворяют условию , то .

В случае, когда и , последнее свойство имеет простую геометрическую иллюстрацию: площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции , больше площади криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции .