Механика деформируемого тела

2.1.   Внешние и внутренние силы. Напряжения

Если к какому-либо телу приложить систему сил (внешних или внутренних), то произойдет его деформация - упругая или пластичес­кая. Механизм появления внутренних сил состоит в изменении межатомных расстояний, в результате чего наблюдается изменение формы тела.

При деформации действуют три вида внешних сил:

- активные силы (приложенные);

- реактивные силы (давление инструмента на металл);

- силы трения (активные и реактивные).

Активные силы и их величина определяют технологический процесс деформирования, который обеспечивает изготовление изделия. Они возника­ют от воздействия машин-орудий (молота, пресса, прокатного стана, волочильного стана) и передаются соответствующим инструментом (вал­ками, штампами, волоками) деформируемому металлу.

Одной из основных задач теории обработки металлов давлением является определение величины активных сил, обеспечивающих необходимую деформацию. Величина приложенных сил определяется количест­вом энергии, необходимой для деформации, а произведение этих сил на путь, пройденный ими, показывает работу, затраченную на дефор­мацию. Мощность машины-орудия определяется по величине силы, кото­рую необходимо приложить для создания деформации.

Активные силы можно привести:

- к одной равнодействующей силе;

- к паре сил;

- к паре сил и силе.

Следует отметить, что законы приложения сил и моментов пар, установленные в механике твердого тела, нельзя безоговорочно применять в условиях пластического деформирования, так как в последнем случае результат действия силы зависит от координат точки ее приложения.

В процессе деформирования на металл воздействуют также реак­тивные силы, представляющие собой сопротивление неподвижных частей штампа, бойков и т.д. В теле возникают внутренние силы, уравнове­шивающие внешнее приложенное давление и реактивное давление. Реак­тивное давление (инструмента на металл) возникает также и в том случае, когда появляется препятствие изменению формы тела. К внут­ренним вертикальным силам, уравновешивающим вертикальные деформи­рующие силы, добавляются горизонтальные внутренние силы, уравнове­шивающие горизонтальные реактивные давления.

Для определения напряженного состояния тела необходимо рассмот­реть выражение потенциальной энергии кристаллической решетки, ко­торую можно представить в виде двучлена. Первый член представляет силы притяжения, второй - силы отталкивания:

                                                                                        (6)

где  - потенциальная энергия;

  и  - константы, зависящие от состава вещества;

    - межатомное расстояние;

     и  - константы, зависящие от типа кристаллической решетки; для металлов

Первая производная уравнения потенциальной энергии

 

                                                                                 (7)

определяет величину возникающих внутренних сил. Если внутренние силы отсутствуют (к телу не приложены внешние силы), то

                                                                                                      (8)

 

т.е. межатомные силы находятся в равновесии. Откуда:

                                                                                            (9)

При отсутствии внутренних сил потенциальная энергия равна минималь­ной величине:

                                                                                  (10)

 где  - нормальное межатомное расстояние, т.е. межатомное расстояние

при отсутствии внутренних сил (для данного вещества при данной       температуре).

Для повышения потенциальной энергии тела должно произойти из­менение междуатомного расстояния, т.е. изменение положения атомов, а, следовательно, возникнет стремление атомов вернуться на места устойчивого равновесия, которые они занимают при наличии минимума потенциальной энергии. Отсюда вытекает, что повышение потенциаль­ной энергии приводит к появлению напряженного состояния тела, к появлению внутренних сил.

 

Напряжения

Напряжением, или интенсивностью внутренних сил, является предел отношения элементарной силы к элементарной площади:

                                                                                          (11)

Удельные нагрузки будут определять напряжения. В случае осевого растяжения напряжение  на площадке , перпендикулярной к оси образца, определяется отношением силы  к площадке

                                                                                                      (12)

Напряжение  можно зна­чительно увеличить даже при небольшой силе  уменьшением площа­ди  (например, давление на швейную иглу, укус пчелы).

При пластическом деформировании площадь сечения образца непре­рывно изменяется. В этом случае напряжение в каждый данный момент для каждой данной площади сечения подсчитывается по формуле:

                                                                                                    (13)

Такие напряжения называются действительными или истинными. Однако в технике более часто применяются условные напряжения, определяемые отношением нагрузки  к начальной площади . Условные напряжения являются характеристиками механических свойств металлов и сплавов при испытаниях на растяжение (временное сопротивление разрыву , условный предел теку­чести ). Вполне понятно, что физический смысл имеют истин­ные напряжения, хотя практически удобнее пользоваться условными напряжениями, так как условные диаграммы могут быть записаны на графике непосредственно, а истинные диаграммы строятся только после соответствующих измерений и математических расчетов.

Для хрупких материалов, плохо деформирующихся растяжением (чу­гун, литейные сплавы на алюминиевой и магниевой основах и др.), общая деформация составляет 1–3%. Поэтому различие между истин­ными и условными напряжениями в этом случае практически может не учитываться. Но у пластичных материалов соотношения другие. Например, у хромоникелевой стали условное напряжение  равно 770 МПа, а соответствующее истинное нап­ряжение - 1430 МПа. Поэтому для пластичных материалов более правиль­но определять истинные напряжения.

Обычно сила, действующая на площадку, не перпендикулярна к ней, а направлена под углом. Эту силу можно разложить на нормальную и касательную составляющие (рис.11).

 

Рис.11. Схема разложения силы, действующей на площадку, на составляющие

 

Механические свойства металлов в значительной степени определяются удельными величинами этих составляющих. Одни процессы, например, пластическая деформация сдвига и разрушение путем среза, связаны с касательными напряжениями, другие, например разрушение путем отрыва - с нормальными растягивающими напряжениями. Нормальная составляющая называется нормальным напря­жением:

                                                                                        (14)

Касательная составляющая называется касательным напряжением:

                                                                                          (15)

где   - угол между напряжением  и нормалью к площадке.

 

Деформация

 Условно можно выделить два вида деформации:

- упругая деформация, исчезающая после снятия приложенной нагрузки;

- пластическая деформация, остающаяся после снятия приложенной наг­рузки.

Начальные деформации всегда являются упругими и подчиняются закону Гука:

                                                                                                      (16)

Данная формула при построении графика дает прямую линию (рис.12а). Коэффициент  является тангенсом угла наклона этой прямой линии. Этот коэффициент характеризует жесткость материала. Чем больше , тем меньшую упругую деформацию имеет ма­териал при одинаковой нагрузке. Величина  называется модулем нормальной упругости, она линейно зависит от атомного объема и температуры плавления Т_пл:

                                                                                              (17)

 

Рис.12. Графики и зависимости «усилие – удлинение» (а) и

         «напряжение – деформация» (б)

 

 

Наибольшие значения модуля упругости наблюдаются у тугоплавких ме­таллов (вольфрам) или у металлов с малым атомным объемом (бериллий).

Напряжения, вызывающие только упругие деформации, приводят к изменению размеров кристаллической решетки за счет изменения межатомных расстояний. Объем тела при этом изменяется обратимо. При сжа­тии под давлением 1000 МПа объем железа изменяется на 0,6%, меди на 1,3%. Наибольшим сжатием обладает цезий, у которого при давле­нии 1500 МПа обратимое изменение объема достигает 30%.

Вследствие сжимаемости металла, из которого изготовлен инстру­мент, необходимо корректировать форму инструмента с учетом упругой деформации.

Отличительные признаки упругой деформации:

- находится в пропорциональной зависимости от напряжения;

- состоит в упругом изменении межатомных расстояний;

- снимается после снятия внешней нагрузки;

- в чистом виде имеет место лишь при начальных нагружениях (участок ОА на рис.12а).

Упругие свойства металла во всех направлениях приблизительно одинаковы, т.е. металл ведет себя как изотропное тело с усредненны­ми упругими свойствами. В таком состоянии металлическое вещество называется квазиизотропным. Упругая деформация сохраняется только при определенных напряжениях. Чисто упругой деформации, бесследно исчезающей после снятия нагрузки, не существует. Упругую деформацию характеризуют константы упругости , связанные соотношением

 

                                                                                       (18)

где  - модуль сдвига;

  - коэффициент Пуассона. 

Коэффициент Пуассона  характеризует отношение деформации в поперечном направлении к продольной деформации при линейном растяжении. Если бы не происходило изменение объема при упругой деформации, то  Но так как происходит упругое изменение объема, то коэффициент Пуассона меньше 0,5, таблица 1.

 

 

Таблица 1