Алгоритм нахождения уравнения касательной

Лекция

Механический (физический) смысл производной (Исаак Ньютон): скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. если s(t)-закон движения материальной точки, то её скорость в любой момент времени находится по формуле: v(t)=s'(t).

Ускорение материальной точки в данный момент времени равно производной скорости по времени, т.е. если v(t) – это скорость материальной точки, то её ускорение в любой момент времени находится по формуле: a(t)=v'(t).

Образцы решения задач

Пример 1. Путь, пройденный материальной точкой, задаётся следующей функцией: s=3t²-2t+4. Найдите скорость движения точки в момент времени t=5с.

Решение: Скорость – это производная пути - v(t)=s'(t),т.е. v(t)=  Подставляем в это выражение вместо t значение 5 с, получаем: v(5)=

Ответ: v(5)

Пример 2. Тело движется прямолинейно по закону s(t)=3+2t+t² (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t=1 c.

Решение: Скорость – это производная пути - v(t)=s'(t),т.е. v(t)=  Подставляем в это выражение вместо t значение 1 с, получаем: v(1)=

Ускорение – это производная от скорости: a(t)=v'(t), т.е. . Подставляем вместо t его значение 1 с, получаем .

Ответ: v(1) .

Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону: s=6t-t². Через сколько времени точка остановится?

Решение: Остановка – это значит, что скорость точки равна нулю. Значит, нужно найти скорость и приравнять её к нулю, решить получившееся уравнение. v(t)=s'(t),

т.е. v(t)= . Получаем:

Ответ: через 3 с.

Контрольное задание.

1) Точка движется прямолинейно по закону: s(t)=2t³+t²-4. Найти её скорость  и ускорение в момент времени t=4с.

2) Точка движется прямолинейно по закону s=6t-t². В какой момент времени её скорость окажется равной нулю?

3) Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид: s=3t²-1.

Ответы: 1) 104 м/с; 50 м/с²  2) t=3 с             3) 7200 Дж

 

Тренировочное задание.

1) Для автомобиля тормозной путь определяется формулой: s(t)=30t-16t². В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки автомобиля? Какое расстояние пройдёт автомобиль с начала торможения до полной его остановки?

2) Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону: s=2t²+3t-1. Найти кинетическую энергию тела (E_к= ) через 3с после начала движения.

3) Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s=t³+t-27, другое – по закону s=t²+1. Определить момент времени, когда скорости этих тел окажутся равными.

4) Найдите силу F(F=ma), действующую на материальную точку с массой 3 кг, движущейся по закону s(t)=t²-4t⁴ (м) при t=3 с.

Лекция (продолжение)

Геометрический смысл производной (Готфрид Вильгельм Лейбниц): Значение производной функции y=f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке х, т.е. k=tg =f '(x).

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х₀ имеет вид: y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀)

Алгоритм нахождения уравнения касательной

1. Находят f(x₀), т.е. подставляют х₀ в функцию.

2. Находят производную f'(x).

3. Находят значение производной в точке х₀, т.е. f'(x₀).

4. Подставляют найденные числа в уравнение касательной.

Пример 4. Найти уравнение касательной к графику функции

Примеры 5,6

 

Контрольное задание.

1) Составить уравнение касательной к параболе y=x²-4x в точке с абсциссой х₀=1.

2) Дана кривая y=-x²+4. Построить к ней касательную в точке х₀=-1.

Ответы: 1) y=-2x-1 2) y=2x+5.

Тренировочные упражнения.

Напишите уравнение касательной к графику функции f в точках с указанной абсциссой:

а) f(x)=x², x₀=1

б) f(x)=х³, х₀=2

в) f(x)= , х₀=-1

г) f(x)= , х₀=4

Практическая работа

Выполняем тот вариант, на котором сидите на уроках математики!

1 вариант	2 вариант
1.Записать уравнение касательной к кривой f(x)=x2-3 в точке х0=2.	1.Записать уравнение касательной к кривой f(x)=x2-3 в точке х0= .
2.Составить уравнение касательной к параболе у=х2-6х+5 в точке с абсциссой х0=4.	2.Составить уравнение касательной к параболе у=2х2-5х+3 в точке с абсциссой х0=2.
3.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении материальной точки задана уравнением:s= t3+2t2-3. Найти её скорость в момент времени t=4с.	3.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении материальной точки задана уравнением:s= t3+ t2+2. Найти её скорость в момент времени t=2с.
4.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тел задана уравнениями: s1= t3+2t2-45 и s2= t2+4t+115. В какой момент времени их скорости движения будут равны?	4.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении материальной точки массой 12 кг задана уравнением: s=t2+2t+3. Найти кинетическую энергию тела (Eк= ) через 5 с после начала движения.

 

Контрольные вопросы (письменно):

1. В чём заключается физический смысл производной?

2. Как найти ускорение?

3. Что такое касательная к графику функции?

4. В чём заключается геометрический смысл производной?

5. Запишите формулу уравнения касательной к графику функции.

6. Для решения каких задач можно использовать производную?