Произведение матриц

Пусть А = и В = Будем говорить, что А и В согласованы по умножению, если n = p («длина» строки матрицы А равна «высоте» столбца матрицы В).

Перемножаются матрицы А и В по правилу: i – я строка первой матрицы А, умножается скалярно на j – й столбец матрицы В и полученное число Сij записывается в j – й столбец на i – е место искомой матрицы С.

Матрицы, не согласованные по умножению, перемножать нельзя.

Свойства произведения матриц:

1.

2.

Произведение матриц, вообще говоря, не коммутирует, т. е.  не всегда равно .

Пример 4. Показать, что  для матриц, данных в примере 1.

Решение. Две матрицы можно перемножить, если число элементов в строке первой матрицы равно числу элементов в столбце второй из перемножаемых матриц. Поэтому матрицы  можно вычислить:

 

 .

 

Квадратная и единичная матрица

Определение. Матрица А =  называется квадратной порядка n, если число строк равно числу столбцов (m = n).

Определение. Квадратная матрица Е порядка n называется единичной, если у неё на главной диагонали стоят единицы, а на всех остальных местах – нули.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется матрицей размера (mхn)?

2. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной, нулевой, вектор-строкой, вектор-столбцом?

3. Какая матрица называется транспонированной по отношению к матрице A?

4. Какие матрицы называются равными, противоположными?

5. По какому правилу складываются и вычитаются матрицы? Можно ли сложить матрицы размером (2;3) и (3;1)?

6. Как умножить матрицу на число?

7. Какими свойствами обладают операции сложения матриц и умножения матрицы на число?

8. Как перемножить две матрицы? Когда определено произведение двух матриц?

9. Каким условиям должны удовлетворять матрицы А и B, чтобы:

а) существовало произведение АB;

б) существовало произведение BА;

в) существовало произведение АB и BА?

Привести примеры.

10. Какими свойствами обладает произведение матриц?

11. Какая матрица выполняет роль единицы в операции произведения матриц размера (nхn)?

12. Матрицы А, С имеют размеры соответственно (m;n) и (p;q). Если существует произведение ABC. Каковы размеры матриц B и ABC? Привести примеры.