Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

 

Литература

    1. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. ‑ М., 1989.– 608 с.

    2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике. Раздел: «Молекулярная физика». / МТИПП. ‑ М., 1990. С. 10 – 17.

Введение

 

Явления переноса

    Молекулы вещества, участвуя в тепловом движении и непрерывно сталкиваясь друг с другом, перемещаются из одного места в другое, изменяя свои скорости, как по величине, так и по направлению. Происходит постоянное перемещение молекул и перенос присущей им энергии, импульса и массы.

    Если в веществе существует пространственная неоднородность концентрации, температуры или скорости упорядоченного движения отдельных слоев, т.е. нарушена полная хаотичность движения молекул, то тепловое движение молекул выравнивает эти неоднородности. В этом случае в веществе начинают происходить процессы, объединенные общим названием явлений переноса. К этим явлениям относятся: диффузия (перенос массы), теплопроводность (перенос энергии) и внутреннее трение или вязкость (перенос импульса). В основе этих трех различных физических явлений лежит один   и

тот же молекулярный механизм – хаотическое движение молекул. Это обуславливает одинаковые закономерности в явлениях и, в случае газов, взаимосвязь количественных характеристик.

    1) Явление диффузии. Диффузией называют процесс самопроизвольного взаимного проникновения частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и твердых тел. Перенос массы вещества подчиняется закону Фика

,                                   (1)

где dM – масса вещества, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS, поставленную перпендикулярно к направлению переноса вещества. Величина = (grad n) _х, взятая по выбранному направлению переноса, является проекцией градиента концентрации на это направление;

Д – коэффициент диффузии. Знак минус в формуле (1) показывает, что перенос массы при диффузии осуществляется в направлении убывания концентрации.

    Коэффициентом диффузии Д называется физическая величина, численно равная массе вещества, переносимой через единицу площади за единицу времени при единичном градиенте концентрации в направлении, перпендикулярном к рассматриваемой площадке dS.

    2) Явление теплопроводности. Если в какой-либо части газа (жидкости или твердого тела) температура будет выше, чем в другой, то вследствие непрерывных столкновений молекул их кинетическая энергия в обеих частях газа с течением времени будет выравниваться, т.е. будет выравниваться температура. Явление возникновения потока тепла в веществе (направленный перенос энергии из области с более высокой температурой в область с более низкой) называется теплопроводностью.

    В общем случае произвольного теплового состояния тела температура в его отдельных точках не только различна, но и изменяется со временем. Кроме того, она зависит от температуры источника или его мощности, начальной  температуры тела,  температуры окружающей среды и, наконец, от

коэффициента теплопроводности, о котором мы будем говорить ниже. Это общее переменное тепловое состояние тела трудно поддается математическому описанию. Решение задачи о теплопроводности значительно упрощается, если считать температуру в каждой точке тела постоянной, не изменяющейся со временем, т.е. являющейся функцией только координат точек x, y, z: T = T (x, y, z). Это случай стационарного теплового состояния. Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, образует поверхность, которая называется изотермической поверхностью. Наибольшее изменение температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности.

В теории теплопроводности количество теплоты dQ, проходящее внутри тела через элементарную площадку dS, являющуюся частью изотермической поверхности, за время dt, определяется уравнением Фурье

                                         (2)

где  - проекция градиента температуры на направление х;

   l - коэффициент теплопроводности.

    Знак минус в уравнении Фурье показывает, что энергия переносится в сторону убывания температуры Т.

    Коэффициентом теплопроводности l называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, переносимому через единицу поверхности за единицу времени при единичном градиенте температуры.

    3) Явление внутреннего трения. Явление внутреннего трения (вязкости) связано с возникновением сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями.

    Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила, наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущийся слой. Силы трения, возникающие при этом, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.

Причиной внутреннего трения по кинетической теории газов является наложение упорядоченного движения слоев газа с различными скоростями на хаотическое тепловое движение молекул. Благодаря последнему, молекулы переносят из слоя в слой импульсы своего упорядоченного движения. В результате этого движения возникает сила внутреннего трения. Она проявляется в том, что возникающее в газе или жидкости движение после прекращения действия причин, его вызывающих, постепенно прекращается.

    Свойство жидкостей или газов оказывать сопротивление относительному движению своих слоев называют вязкостью или внутренним трением. Явление внутреннего трения подчиняется закону Ньютона

,                                              (3)

где F – сила внутреннего трения двух соприкасающихся слоев;

S – величина площади соприкасающихся слоев;

 – проекция градиента скорости движения слоев на направление х;

h – коэффициент внутреннего трения или динамической вязкости.

    Градиент скорости grad  показывает, как быстро растет скорость на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости движения слоев.

    Коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкости называется физическая величина, численно равная силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев при градиенте скорости, равном единице.

    Помимо динамической вязкости применяется также кинематическая вязкость , где r - плотность. Коэффициент динамической вязкости зависит от природы жидкости или газа и от температуры.

    Важно отметить, что для газов коэффициенты Д, l, h, полученные по молекулярно- кинетической теории, однозначно связаны между собой. Эта связь обусловлена единством внутреннего механизма явлений. Напротив, для жидкостей и твердых тел этого единства механизма нет.

                                                    (4)

                                             (5)

,                                                 (6)

где  – средняя длина свободного пробега молекул в газе;

   – средняя арифметическая скорость теплового движения молекул;

  r – плотность газа;

  C_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

 

Теория метода Стокса

При движении тела обтекаемой формы с малой скоростью в среде возникает сопротивление, обусловленное вязкостью жидкости. Слой жидкости, непосредственно прилегающий к твердому телу, прилипает к его поверхности и полностью увлекается телом. Следующий слой увлекается с меньшей скоростью за счет сил внутреннего трения. Таким образом, движение передается от слоя к слою.

Сила сопротивления при движении шарика в вязкой жидкости, согласно формуле Стокса, будет

F = 6 ×p×h×r×u,                                                  (7)

где h – коэффициент вязкости жидкости;

 – радиус шарика;

 – скорость движения шарика.

Если шарик радиуса  падает в вязкой жидкости, то на него будут действовать три силы: сила тяжести, выталкивающая архимедова сила и сила сопротивления движению, обусловленная силами внутреннего трения между шариком и отдельными слоями жидкости. Все эти силы действуют вдоль вертикальной прямой: сила тяжести – вниз, выталкивающая сила и сила сопротивления – вверх.

Если плотность материала шарика r, а плотность жидкости r₁, то сила тяжести будет , а выталкивающая сила будет . При падении в вязкой среде шарик, двигаясь ускоренно, приобретает такую скорость, при которой силы, действующие на него, взаимно уравновешиваются, и с этого момента он будет двигаться равномерно. В этом случае имеет место равенство

,                              (8)

где  – скорость установившегося движения шарика.

    Решая последнее равенство относительно h, найдем

                                         (9)

    Полученная формула не учитывает влияния стенок сосуда на движение шарика. Зная величины, входящие в формулу (9), можно определить коэффициент вязкости жидкости. Необходимо иметь в виду, что формула Стокса верна для не слишком больших скоростей, когда за шариком не образуется вихревого движения жидкости.