2020-04-20
116
Задающее воздействие 
и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная составляющая напряжения на выходе дискриминатора 
(t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные линейные цепи нормализуется.
Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией случайных процессов.
Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы связаны зависимостью
,
где 
- частотная передаточная функция системы;
- спектральная плотность процесса на входе.
Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию:
|
|
|
.
Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы:
(1)
или:
, (2)
где Sv(w) –двусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы.
При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (2) может быть записано в виде:
,
где 
; 
.
Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интегралов
Для упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному виду:
,
где 
─ полином четной степени частоты 
;
- полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной ; n – степень полинома 
.
Вычисление производят по формулам:
; 
; 
.
При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике.
Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом должен быть дробно-рациональной функцией переменной и система должна быть устойчивой.
Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис.1).
Рис.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения.
Исходные данные:
─ флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью 
.
Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле:
.
Передаточная функция от воздействия к ошибке
;
; 
.
Выполним расчет:
;
;
; 
;
; 
; 
; 
; 
;
. (3)
Приведем 
ко входу дискриминатора и упростим выражение (3)
, (4)
где 
; 
- спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного процесса.
Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей.
|
|
|
Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: 
, и
;
Если на вход инерционного звена с передаточной функцией
подать шум со спектральной плотностью 
, то дисперсия на выходе будет равна
;
Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени 
.
Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае
; 
; 
; 
.
Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при увеличении 
инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются (рис.2).
Рис.2. Зависимость АЧХ от постоянной времени инерционного звена.
Используя (4) можно оптимизировать параметры системы, в частности 
по критерию минимума флюктуационной ошибки. С этой целью продифференцируем (6.4) по и приравняем производную нулю.
;
;
;
; 
;
при 
; 
;
Подставив 
в (4), получим
,
где 
- собственная частота следящей системы.
Если задающее воздействие представлено спектральной плотностью неточность его воспроизведения также оценивается дисперсией. Рассмотрим пример (рис.3).
Рис.3
Пусть 
; 
,
где 
─ дисперсия задающего воздействия;
- параметр, определяющий ширину спектра.
Определим величину дисперсии ошибки слежения 
, обусловленную неточностью воспроизведения задающего воздействия.
;
,
где 
; 
- коэффициент передачи интегратора;
- крутизна дискриминационной характеристики.
; 
;
приведем выражение к стандартному виду:
;
(jw) =(
+jw) (Kv+jw) =(jw) 2 +( +Kv) jw+ Kv;
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
;
При увеличении 
уменьшается, в то время как в первом примере 
увеличивается.
