Аналіз механізмів розсіяння

 

Електропровідність твердого тіла з концентрацією носіїв заряду п виражається відомою формулою

 

σ = еµn,

 

де µ - рухливість носіїв заряду. Вона визначається розсіянням носіїв на порушеннях періодичності кристалічної ґратки і при пружному розсіянні в напівпровіднику з простою параболічною зоною рівна [1]:

 

τ ~ Е^rТ^Sт*^t

 

де (τ) - середній час релаксації, а m * - ефективна маса.

В більшості випадків час релаксації є степеневою функцією енергії носіїв, температури і ефективної маси:

Якщо в процесі зіткнень випромінюється або поглинається один фонон при розсіянні на акустичних коливаннях ґратки: r = - 1/2; s = - 1 t = - 3/2.

Розгляд розсіяння на іонізованих домішках звичайно приводить до результату, який приблизно описується параметрами r = 3/2, s - 0, t - 1/2. Однофононне розсіяння на полярних оптичних коливаннях характеризується степеневою залежністю часу релаксації і температури лише при температурах, значно більших від характеристичної температури Θ_l= ( ω_l) /k₀, де ω_{l -} частота повздовжніх оптичних коливань.

Величину Θ звичайно називають температурою Дебая. При Т >> Θ_l r = 1/2, s = - 1, t = - 1/2. При Т << Θ_l час релаксації не залежить від енергії, а його температурна залежність виражається формулою:

τ ~ е ^{Θl /T} - 1.

 

У випадку непружних зіткнень поняття часу релаксації ввести неможливо. Рухливість у цьому випадку описується більш складними формулами, ніж (6).

Усереднення часу релаксації по енергіям проводиться слідуючим чином:

 

 

 

де f (Е, Е_f} - функція розподілу Фермі, а k - квазіімпульс носіїв заряду.

У випадку класичної статистики, усереднення приводить до степеневої залежності (τ) від температури:

µ_кл ~ Т^2+s

 

Наприклад, при розсіянні на акустичних фононах /л_кл ~ Т~³/². У випадку виродженої статистики похідна (-дf/де) близька до дельта-функції δ (Е - Е_g}, де Е_g енергія Фермі, отже (τ) = τ (Е_g).Якщо енергія Фермі від температури не залежить,

µ_вир. ~ Т^s.

 

При довільному ступені виродження у випадку параболічної зони рухливість виражається через інтеграл Фермі. Наприклад, при r = - 1/2 (акустичне розсіяння):

 

 

де інтеграл Фермі дорівнює

 

,

 

і приведений рівень Фермі

 

,

 

Але слід відмітити, що жоден о описаних вище простих випадків не має місця для більшості напівпровідників. Часто різні механізми розсіяння суттєві при одних і тих же концентраціях і температурах. При цьому обернений час релаксації, що визначається г-м механізмом розсіяння, дорівнює сумі

¹

 

і залежність τ (Е) не має степеневого характеру. Звичайно вважають, що час релаксації

τ ~

 

де ρ - густина станів, М - матричний елемент взаємодії електрона з розсіюючим об'єктом.

Передбачається, що матричний елемент залежить від величини квазіімпульсу так, як і у випадку параболічної зони. Зокрема, при розсіянні на акустичних коливаннях він не залежить від квазіімпульсу і величина тр не змінюється з енергією. Таким чином, вплив непараболічності на залежність часу релаксації від квазіімпульсу проявляється тільки через густину станів.

В кристалах ТР рухливість електронів, визначена з вимірів ефекту Холла і електропровідність при достатньо високих температурах змінюються з температурою і концентрацією носіїв заряду досить складним чином. Для зразків з концентрацією електронів п - 2 х 10¹⁸см~³ (х = 0,01) і п = 6  10¹⁸см^-3 (х = 0,05) рухливість в температурному інтервалі 77-700 К залишається постійною (криві 1 і 4). Така температурна залежність рухливості характерна для металів, де спостерігається явище залишкового опору. Для обчислень µ (Т,n) використовувалась формула з [10], одержана для розсіяння електронів на екранованому кулонівському центрі у виродженому напівпровіднику:

 

 

 

де п_d - концентрація заряджених центрів у електронному напівпровіднику з повністю іонізованими донорами рівна концентрації електронів п.

Формула (17) виведена на основі припущення, що потенціальна енергія електрона на відстані т від однозарядного розсіюючого центра рівна

 

 

Рис. 4. Температурна залежність рухливості електронів ТР (InSb) _1-x (CdTe) _x.

 

С'клад ТР x:

0.01: 2 0.02: 3 0.03: 4 0.05.

 

де r_е - радіус екранування, рівний у випадку сильного виродження

При п ~ 10¹⁸см^-3 результати розрахунків по формулі (17) з точністю до 20-25% співпадають з експериментальними. Крім того, рухливість згідно (17) і (17а) зменшується із зростанням концентрації по закону, близькому до µ ~ 1/n^1,4. Величина ε у нашому випадку приймалась рівною значенню діелектричної проникності для ІпSb (ε = 16,5). При п = 6  10¹⁸см^-3 радіус екранування, згідно (19), складав ~ 10^-6 см.

Таким чином, можна зробити висновок, що розсіяння носіїв заряду для складів х = 0,01 і х = 0,05 в широкому температурному інтервалі відбувається головним чином на екранованому кулонівському центрі, тобто подібне розсіянню на нейтральних домішках.

При зменшенні концентрації розсіюючих центрів в результаті їх взаємної компенсації при утворенні нейтральних комплексів типу (СdTe) ⁰, величина і характер температурної залежності рухливості змінюються. Аналіз кривих 2 і 3 на рис.4 показав, що в температурному інтервалі 100-400 К рухливість електронів спочатку збільшується як µ ~ Т^α, де при х = 0,02 α = 2,5, при х = 0,03 α = 2,2, а потім в температурній області Т > 400К, спадає за законом, близьким до µ ~ Т^-1 (х = 0, 002) і µ ~ Т^-0,6 (х = 0, 03). Криві типу 2 і 3 спостерігались для зразків з концентрацією вільних електронів менших, ніж для кристалів складу (х = 0,01 і х = 0,05). Можна чекати, що при порівняно малих концентраціях вільних електронів ступінь екранування кулонівського потенціалу домішкових центрів зменшиться і механізм розсіяння носіїв заряду зміниться.

Згідно [4] рухливість в невироджених напівпровідниках при розсіянні на іонах домішок визначається формулою µ ~ Т³/². Але, як видно з рисунка, рухливість збільшується при зростанні температури в інтервалі 100 - 400К швидше, ніж за законом µ ~ Т³/².

Носії заряду можуть розсіюватись також на неоднорідностях кристалічної ґратки, викликаних її деформацією домішковими іонами. Але оцінки ефективності таких процесів по теорії [9,12] показали, що переріз розсіяння на неоднорідностях, зумовлений деформацією розтягу, на порядок, а деформацією зсуву - на три порядки менший від розрахованого за експериментальними даними.

Такі дефекти ґратки, як дислокації, можуть розсіювати носії і сильно впливати на рухливість, особливо при низьких температурах. Дислокації можуть захоплювати електрони, дірки і іони і поводити себе подібно до заряджених ліній. Ці лінії оточені циліндричною областю заряду протилежного знаку. Велика розбіжність рухливостей, виміряних на різних зразках може бути результатом впливу дислокацій, але температурна залежність рухливості при розсіянні на дислокаціях набагато слабша від одержаної нами експериментальне [11]. Виходячи із сказаного, можна передбачити, що хід µ (Т) для складів (х = 0,02.0,03) пов'язаний з тим, що при зростанні температури частина електронів переходить з домішкової зони з низькою рухливістю в зону провідності. Як уже відмічалось, відокремлення домішкової зони від зони провідності спостерігається при зниженні концентрації електронів у вказаних зразках. Енергетичний зазор між зонами залежить від концентрації і для нашого випадку знаходиться в межах 0,013-0,034 еВ.

Таким чином, швидке зростання рухливості при нагріванні (100-400К), очевидно, зумовлено двома основними механізмами - температурним переведенням частини електронів з домішкової зони (з малою рухливістю) в зону провідності (з великою рухливістю) і розсіянням носіїв заряду на заряджених центрах. Зменшення рухливості при Т > 400К за законом, близькому до µ_n ~ Т^{- 1}і µ_n ~ T ^-0,6, можна пов'язати з поєднанням кількох механізмів: розсіянням електронів на акустичних коливаннях (µ_п ~ Т ^-3/²), розсіянням на іонах домішок (µ_n ~ Т³/²) і переведенням частини електронів з домішкової зони е зону провідності.

Слід також відмітити, що, як було показано в [13], закон зменшення рухливості в області високих температур можна пояснити температурною залежністю ефективної маси. Величина температурної залежності в більшості випадків узгоджується, хоч і досить грубо, с температурним ходом ширини забороненої зони [13]. Проте, у нашому випадку вказаний закон спадання рухливості, очевидно, не має місця.

Зроблені вище висновки про переважні механізми розсіяння е ТР підтверджуються і проведеними нами незалежно комплексними вимірюваннями температурних залежностей термоЕРС α (Т) та холлівської концентрації п (Т) в інтервалі температур 160-400 К [14-15].

За даними цих вимірювань розраховувались величини приведеного рівня Фермі  (Т). З другого боку, залежність п (Т] розраховувалась за формулою Колодзейчака [16]:

 

 (20)

 

де - інтеграл Колодзейчака;

β = (kT) /Е_g;

 - приведений інтеграл Фермі.

Величини Е_g та m * брались з оптичних вимірювань (розділ IV).

З порівняння експериментальної залежності п (Т) з теоретичними за формулою (20) можна оцінити m * для ТР різних складів. Дані, наведені в [14-15] добре узгоджуються з описаними у розділі IV, отриманими з вимірювань оптичного відбивання в області плазменного резонансу. Так, m * залежала від хімічного складу кристалів ТР та концентрації носіїв заряду і при 150.170 К змінювала свою величину в межах (0,009.0,022) m ₀ при 0,001 < х < 0,03, при х  0,01 вона набувала мінімального значення 0,009? тго При Т=290.300 К мінімальне значення т* рівне 0,017 m₀, діапазон зміни m * для вказаної області складів ТР - (0, 017. О, 037) m₀.

Зменшення ефективної маси електронів в області 0, 01 < х < 0,02 може бути пов'язане з опусканням дна зони провідності, яке досягає максимуму у вказаній області складів ТР. Причиною цього може бути деформація кристалічної ґратки та зміна її параметра (розділ II).