Изучение колебательного движения

Цель работы:

Углубить знания по теории гармонических колебаний; освоить методику экспериментальных наблюдений и проверить законы незатухающих гармонических колебаний на примере математического, крутильного или физического маятников; закрепить навыки обработки, оформления и представления экспериментальных результатов.

Часть I. Математический маятник

1.1. Теоретическая часть

Маятник – тело, совершающее колебательное движение под действием упругой или подобной ей, «квазиупругой» силы. Простейший маятник – массивный груз на подвесе, находящийся в поле силы тяжести. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О. Такой маятник называется математическим.

На груз действуют силы: натяжения нити и тяжести , которые в положении равновесия (точка С, рис.1) компенсируют друг друга . Для возбуждения колебаний маятник выводят из положения равновесия, например, в точку С`. Теперь на него действует сила , направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению, маятник обладает избыточной потенциальной энергией mgh по отношению к положению равновесия. Эта энергия обуславливает колебание, происходящее по дуге окружности и описываемое основным уравнением динамики вращательного движения

, (1)

где - результирующий вращающий момент, модуль этого вектора равен ; - угловое ускорение, J = ml² – момент инерции груза относительно оси ОО ^¢, проходящей через точку подвеса О, перпендикулярно плоскости колебаний (плоскости чертежа).

Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника в отсутствии сил сопротивления имеет вид

, (2)

откуда получаем

(3)

Для достаточно малых углов (j<5-6°) sinj»j (в радианах), тогда

, (4)

где .

Уравнение (4) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением является функция

, (5)

где j₀ – амплитуда, a₀ – начальная фаза. В этом можно убедиться, подставив (5) в (4).

Из (5) следует, что угол отклонения маятника из положения равновесия изменяется по гармоническому закону. Величина является циклической частотой собственных колебаний маятника, тогда величина

(6)

- период колебаний математического маятника.¹

Из выражения (6) следуют три закона колебаний математического маятника:

При малых углах отклонения (sinj»j или j<6⁰) и в отсутствие сторонних сил

1. период колебаний не зависит от массы маятника;

2. период колебаний не зависит от амплитуды;

3. период колебаний определяется формулой .

Две из этих закономерностей подлежат проверке в данной работе.

1.2. Экспериментальная часть

Используемый в работе маятник представляет собой модель математического маятника - груз, подвешенный на тонкой нити. В работе используются не менее трех грузов, размеры которых значительно меньше длины нити (примерно как 1:50) и которые существенно отличаются по массе (примерно как 1:2:4), но близки по форме и размерам, чтобы силы сопротивления, возникающие при их движении, были примерно одинаковыми. Следует помнить, что длина маятника – это расстояние от точки подвеса до центра массы груза. Начальный угол отклонения маятника из положения равновесия не следует брать больше, чем 10-15°.

Задание 1. Проверка влияния массы математического

маятника на период его колебаний

1. Закрепив тело на подвесе, измеряют время 10 – 20 полных колебаний при возможно большей длине маятника. Повторяют измерения для других грузов. Данные заносят в таблицу 1.1 отчета.

2. Вычисляют период колебаний с точностью до 0,001 секунды.

3. Вычисляют оценочно относительную инструментальную погрешность измерений d.

4. Сравнивают периоды колебаний. Если различие в периоде колебаний не превышает 1% (приблизительно 0,01 с), то можно сделать вывод о практической независимости периода колебаний математического маятника от его массы.

Задание 2. Изучение зависимости периода колебаний

математического маятника от его длины

1. Подвешивают на нити стальной шарик. Длину подвеса изменяют с таким шагом, чтобы получить с данной нитью 5-6 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте 10-15. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5-6°. Полученные данные заносят в таблицу 1.2 отчета.

2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Можно, например, построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника Т²=f(l). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о выполнении формулы (6) и следовательно, одного из законов математического маятника. Если разброс велик, то следует повторить всю серию измерений.

Контрольное задание. Определение ускорения свободного падения.

С помощью полученного графика можно определить ускорение свободного падения. Предварительно следует получить точное уравнение экспериментальной прямой. Для этого применяют метод наименьших квадратов (МНК) и определяют угловой коэффициент прямой, т.е.

k=DT²/Dl = 4p²/g, откуда g=4p²/k.

Определите из графика k =DT²/Dl и вычислите ускорение свободного падения.

По формулам МНК определите погрешность измерения g.

Часть II. Физический маятник

2.1. Теоретическая часть

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис.2).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j, то составляющая силы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (7)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj»j, поэтому сила F_t» -mgj и она ведет себя подобно упругим силам.

Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

, (8)

где М – момент силы F_t относительно оси О, J – момент инерции маятника относительно оси О, - угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = F_t×l = -mgj×l, (9)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (9) уравнение (8) можно записать в виде

(10)

или

, (11)

где

Решением дифференциального уравнения (11) является функция

j =j₀_×cos(w₀t+a), (12)

позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (12) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний j₀, циклической частотой , начальной фазой a и периодом

T=2p/w₀= 2p{J₀+ml²)/mgl}^1/2, (13)

Анализ формулы (13) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника:

При малой амплитуде и в отсутствие сторонних сил

1. период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания);

2. период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний;

3. период колебаний физического маятника сложным образом зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса [1].

2.2. Экспериментальная часть

Применяемые в данной работе физические маятники представляют собой:

1) однородный стержень, достаточно длинный, чтобы момент инерции относительно центра его массы можно было рассчитывать по формуле J₀= ml²/12;

2) плоские тела правильной геометрической формы, момент инерции которых может быть рассчитан исходя из их геометрии и массы.

Стержни закрепляются в специальной оправе с призматическим основанием, и после установки на платформу превращаются в маятники.

Плоские тела имеют отверстия для подвешивания на ось вращения.

Период колебаний маятника измеряют с помощью секундомера.

Задание 1. Изучение зависимости периода колебаний физического маятника от его

момента инерции и расстояния между осью качаний и центром тяжести

маятника

1. Закрепите оправу на конце стержня и установите его на вилку. Измерьте расстояние l₁ от оси качаний до центра тяжести стержня.

2. Отклоните стержень на 5 -6° и измерьте время 5-10 полных колебаний. Определите период колебаний.

3. Переместите оправу ближе к центру тяжести стержня. Измерьте расстояние l₂. Снова измерьте период колебаний стержня.

4. Тем же образом необходимо провести 5-6 опытов, постепенно перемещая опорную призму к середине стержня. Все результаты измерений занесите в таблицу 2.1. отчета.

4. По результатам опыта вычислите величины l² и (T²l).

5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную зависимость периода колебаний физического маятника от его момента инерции и расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим разбросом, что объясняется погрешностями измерений, то можно сделать вывод о правильности формулы (13) для периода колебаний физического маятника.

Задание 2. Определение моментов инерции тел различной формы методом

колебаний.

1. Из набора тел к работе возьмите (по указанию преподавателя) одно и измерьте период его колебаний относительно произвольной оси.

2. С помощью формулы (16) вычислите момент инерции тела относительно оси качаний.

3. Произведите необходимые геометрические измерения и, зная массу тела, вычислите момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера рассчитайте момент инерции тела относительно оси, проходящей через ось качаний.

4. Величину моментов инерции, полученных при измерении, сравните с рассчитанными теоретически. Для корректного заключения следует оценить погрешности измеренного и вычисленного моментов инерции. Относительная погрешность измеренного момента инерции находится по формуле:

(14)

Относительная погрешность вычисленного момента инерции определяется из расчетной формулы для заданного вам тела и погрешностей, входящих в нее величин.

Контрольное задание. Определение ускорения свободного падения и длины стержня

С помощью полученного графика зависимости (T²l) = f(l²), можно определить ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка, отсекаемого прямой от оси OY:

(15)