Доказательство теоремы Минковского

Министерство Образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Хабаровский Государственный Педагогический Университет

 

 

Кафедра математического анализа и информатики

 

Курсовая работа

 

“Геометрия чисел”

 

                           

 

 

                                                                  Выполнил: =PeppeR=

 

                                                                  Научный руководитель: доцент кафедры

                                                                                        мат. анализа и информатики

                                                                                            кандидат физ.-мат. наук

                                                                                            

 

Хабаровск – 2004

 

Содержание.

1. Введение.                                                                             2

2. Постановка задачи.                                                       3

3. Основная задача геометрии чисел.                             4

4. Теорема Минковского.                                                       6

5. Доказательство теоремы Минковского.                           7

6. Решётки.                                                                              10

7. Критические решётки.                                                           13

8. «Неоднородная задача».                                                   17

9. Список литературы.                                                          18

 

 

Введение.

Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

 

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

 

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х₁,…,x_n)— функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть ïf(u₁,…,u_n)ï при подходящем выборе целых чисел u₁,…,u_n? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х₁,…,x_n)является однородной формой; в этом случае совокупность значений u₁ = u₂ =... = u_n = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть

f(x₁,x₂) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x2 + a₂₂x₂²        (1)

- положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u₁,u₂, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство

f(u₁,u₂) £ (4D/3)^1/2                                   (2)

где D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² – определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно,

u₁² + u₁u₂ + u₂² ³ 1

для всех пар целых чисел u₁,u₂, не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4.

Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результат можно выразить на­глядно. Неравенство типа

f(x₁,x₂) £ k,

где f(x₁,x₂) — форма (1), а k — некоторое положительное число, задает область Âплоскости {x₁,x₂}, ограниченную эллипсом. Таким образом, наше предложение утверждает, что если k ³ (4D/3)^1/2, то область Âсодержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами u₁ и u₂, не равными одновременно нулю.

 

 

Теорема Минковского.

Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область Â всегда содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям:

1) область Â симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x₁,x₂) находится в Â, то точка (-x₁,-x₂) также содержится в Â;

2) область Â выпукла; т. е. если (x₁,x₂), (y₁,y₂) — две какие-нибудь точки области Â, то и весь отрезок

{lx₁ + (1-l)y₁, lx₂ + (1-l)y₂},      0 £ l £ 1,

соединяющий эти точки, также содержится в Â;

3) площадь Â больше 4.

Любой эллипс f(x₁,x₂) £ k удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как его площадь равна

kp / (a₁₁a₂₂ – a₁₂)^1/2 = kp / D^1/2,

то он удовлетворяет условию 3), если kp > 4D^1/2. Таким образом, мы имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2) константу (4/3)^1/2 заменить любым числом, большим 4/p.

 

 

Доказательство теоремы Минковского.

Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие приложения.

Вместо области Â Минковский рассматривает область j = Â/2, которая состоит из точек (x₁/2,x₂/2), где (x₁,x₂) - точки области Â. Таким образом, область j симметрична относительно начала координат и выпукла, её площадь равна четверти площади области Âи, следовательно, больше 1. В общем случае Минковский рассматривает совокупность областей j (u₁,u₂) сцентрами в целочисленных точках (u₁,u₂), полученных из тела j параллельными переносами.

Для начала справедливо отметить, что если j и j(u₁,u₂) пересекаются, то точка (u₁,u₂) находится в Â. Обратное утверждение тривиально. Если точка (u₁,u₂) находится в Â, то точка (u₁/2,u₂/2) содержится как в j, так и в j(u₁,u₂). Действительно, пусть (ξ₁, ξ₂) – точка, лежащая в пересечении. Так как точка (ξ₁, ξ₂) лежит в области j(u₁,u₂), то тогда точка (ξ₁ – u₁, ξ₂ – u₂) лежит в области j; следовательно, ввиду симметрии области jточка (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) находится в j. Наконец, в силу выпуклости тела jсередина отрезка, соединяющего точку (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) с точкой (ξ₁, ξ₂), то есть точка (u₁/2,u₂/2), лежит в j, а потому точка (u₁,u₂) находится в Â. Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область j(u₁,u₂) тогда и только тогда пересекается с областью j(u₁^’,u₂^’), когда область jпересекается с об­ластью j(u₁ - u₁^’, u₂ - u₂^’).

Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области j(u₁,u₂)не пересекаются, то площадь области j(u₁,u₂)не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область jцеликом содержится в квадрате

‌x₁‌≤ X, |x₂| ≤ X,

при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена.

Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)² областей j(u₁,u₂), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам

‌u₁‌≤ U, |u₂| ≤ U.