Сведения из классической теории дисперсии вещества

ДИСПЕРСИЯ СВЕТА

Цель работы: Научиться работать на гониометре, измерять с помощью гониометра показатель преломления вещества методом отклонения луча в призме, определять дисперсию вещества. Уметь демонстрировать призматические спектры большой аудитории.

 

Вопросы, знание которых необходимо для выполнения работы:

1. Нормальная и аномальная дисперсия.

2. Классическая электронная теория дисперсии света.

3. Ход лучей в призме, угол наименьшего отклонения.

4. Вывод рабочей формулы для определения показателя преломления.

5. Устройство и юстировка гониометра.

6. Методы измерения на гониометре преломляющего угла призмы.

7. Метод измерения наименьшего угла отклонения лучей призмой.

8. Дисперсия вещества, угловая дисперсия призмы, их определение.

9. Определение собственной частоты колебаний электронов.

 

Литература

a. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Оптика, т.3, §§84, 94, 2005.

b. Е.И. Бутиков. Оптика, §§ 2.3-2.5, 2003.

c. Настоящее руководство.

Дополнительная литература

1. Г.С.Ландсберг. Оптика, §§ 155, 156, 1976.
2. И.В.Савельев. Курс общей физики, т 3, §§ 43, 45, 1971.
3. С.Э.Фриш, А.В.Тиморева. Курс общей физики, т. 3, §§ 279, 280, 1957.

 

Сведения из классической теории дисперсии вещества

Возникновение представлений о дисперсии света берет начало от Ньютона (1672г.), открывшего разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Под дисперсией понимают зависимость показателя преломления n или фазовой скорости v в веществе от частоты w (или длины волны λ). За меру дисперсии света в веществе принимается величина dn/dλ, которая также зависит от длины волны λ. Для всех веществ в области их прозрачности зависимость показателя преломления от длины волны примерно одинакова и описывается эмпирической формулой Коши:

(1)

где λ₀, - длина волны в вакууме; А, В, С – константы, определяемые из эксперимента. В этом случае показатель преломления с увеличением длины волны уменьшается, т.е. dn/dλ < 0. Такая дисперсия света называется нормальной.

В середине XIX века было установлено, что у ряда веществ в определенной области спектра наблюдается аномальная зависимость показателя преломления от длины волны: с увеличением длины волны показатель преломления увеличивается, т.е. dn/dλ > 0. Впервые это явление наблюдалось в парах йода, затем при исследовании красителей, обладающих очень интенсивными полосами поглощения в видимой области спектра. Было установлено, что аномальная дисперсия всегда возникает в той области спектра, где вещество сильно поглощает световую энергию.

Классическая теория дисперсии света использует соотношение Максвелла , где n - показатель преломления света в веществе, число, показывающее, во сколько раз уменьшается скорость света в веществе по сравнению с вакуумом:  Как известно величина ε определяется поляризуемостью молекул вещества, которая, в свою очередь, связана со смещением зарядов (электронов). Таким образом, объяснение дисперсии света может быть найдено во взаимодействии электрического поля световой волны с электронами вещества.

Согласно классическим представлениям (модель атома Томсона) электрон в атоме вещества удерживается квазиупругой силой F = - kx, пропорциональной смещению электрона х. Масса электрона m и коэффициент квазиупругой силы k определяют частоту собственных колебаний электрона, . Под действием электрического поля световой волны электрон приходит в вынужденные колебания с частотой ω, равной частоте проходящей световой волны.

Пусть уравнение световой волны в месте расположения электрона имеет вид:

(1)

На электрон со стороны волны действует сила , где e – заряд электрона, а – напряженность электрического поля световой волны. Для учета затухания колебаний электрона вследствие потерь колебательной энергии при соударениях атомов и излучения вторичных волн, в классической теории вводится сила трения , пропорциональная скорости движения электрона. Таким образом, уравнение движения электрона в поле световой волны имеет вид:

          (2)

или

,                   (3)

где - квадрат собственной частоты колебаний электрона, - коэффициент затухания. Решение уравнения (3) следует искать в виде:

                      (4)

Замечая, что , и подставляя эти выражения в уравнение (3) имеем:       

                   .(5)

Откуда:                                   (6)

В итоге видим, что смещение электрона, вызванное световой волной, зависит от частоты волны, точнее, от соотношения частот ω и ω₀.

Смещение электрона приводит к поляризации вещества, макроскопической мерой которой является вектор поляризации P=Nex=e₀cE, где N - число смещенных зарядов в единице объема, c - диэлектрическая восприимчивость. Используя формулу e = 1+c и выражая вектор поляризации  через смещение электронов, найдем:

(7)

Здесь диэлектрическая проницаемость обозначена значком (*), чтобы подчеркнуть ее комплексный характер:

 (8)

Для разделения действительной и мнимой частей умножим знаменатель и числитель второго слагаемого правой части формулы (7) на . В результате получим:

(9)

Так как , то показатель преломления в общем случае также является комплексной величиной, содержащей действительную и мнимую части:

n* = n – i k,           (10)

где n характеризует преломление света, k – поглощение световой энергии.

Сопоставляя выражения (8) - (10) и учитывая связь между ними, имеем для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, с одной стороны, выражение через n и k, с другой стороны, через соотношение частот ω и ω₀:

      (11)

    (12)

Мнимая часть ε ' связана с поглощением света. Из (12) видно, что поглощение света резко возрастает при приближении к резонансу, когда ω = ω₀. В области прозрачности вещества вдали от резонанса γ = 0, и преломление света описывается формулой:

,      (13)

которая соответствует нормальной дисперсии вещества: с увеличением частоты света показатель преломления увеличивается, т.е.

Характерные графики частотной зависимости действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости приведены на рисунке 1. В областях AB и CD имеет место нормальная дисперсия, в области ВС аномальная дисперсия.

 

  Ход лучей в призме. Угол наименьшего отклонения

Падая на призму, луч испытывает два преломления и в результате отклоняется на угол α, называемый углом отклонения (Рис. 2). Обозначим углы падения и преломления на первой грани i₁ и г₁, а на второй i₂ и r₂. Из рисунка 2 видно, что

α= i₁-r₁-i₂+r₂=i₁+r₂-(r₁+i₂)

r₁+i₂=θ

α= i₁+r₂ – θ (14)

В соответствии с законом преломления

sin i₁=n sin r₁

sin r₂ =n sin i₂ =n sin (θ-r₁)

Согласно (14) угол отклонения в данной призме зависит от угла падения лучей. Для практики представляет интерес угол наименьшего отклонения лучей призмой. Условие наименьшего отклонения лучей призмой можно найти, исследуя выражение (14) на экстремум:

что возможно, если r₂=-i₁, r₁=-i₂. Отсюда следует, что при экстремальном отклонении лучи внутри призмы идут перпендикулярно к

биссектрисе ее преломляющего угла. Минусы в равенстве углов указывают на разные направления отсчета угла. При более строгом анализе можно показать, что полученное выше условие соответствует минимальному отклонению лучей призмой.

Таким образом, при минимальном отклонении лучей призмой имеют место следующие соотношения:

a_min=2 i₁ – θ, r₁=i₂=θ/2              (15)

Из этих соотношений легко получить рабочую формулу для измерения показателя преломления стекла призмы:

               (16)