Інваріанти тензора напружень

Якщо для однієї і тієї ж матеріальної точки, що знаходиться в напруженому стані, провести кілька систем координат, то компоненти тензора напружень щоразу будуть брати нові чисельні значення. Однак напружений стан не залежить від вибору системи координат, отже, сам тензор змінитися не повинен. Очевидно, якісь математичні співвідношення компонент тензора повинні залишатися незмінними (інваріантними).

Для визначення таких співвідношень розглянемо в довільній системі координат одну з головних площадкаів в якості похилій. На цьому площадкау діє тільки одне головне напруга σ, отже, воно є і повною напругою. Його проекції на довільні осі складуть

S_x=σa_x, S_y=σa_y, S_z=σa_z.

Користуючись співвідношеннями (9), можна записати

(20)

 

 

σa_x = σ_хa_x + τ_xya_y  + τ_xza_z;

σa_y = τ_yxa_x  + σ_ya_y + τ_xza_z;

σa_z  = τ_zxa_x + τ_zya_y  + σ_za_z.

чи

(20,a)

(σ_x – σ)a_x + τ_xya_y  + τ_xza_z = 0;

τ_yxa_x + (σ_y – σ)a_y + τ_yza_z = 0;

τ_zxa_x + τ_zya_y  + (σ_z – σ)a_z = 0.

Отримали лінійну однорідну систему рівнянь. Так як всі напрямні косинуси не можуть одночасно дорівнювати нулю, то визначник системи повинен бути рівним нулю, тобто 

             = 0.                                (21)

 

Розгортаючи визначник в рядок, після перетворень отримаємо

σ³  - σ²(σ_x + σ_y + σ_z) + σ(σ_xσ_y + σ_yσ_z +σ_zσ_x - τ_xy²  - τ_yz² – τ_zx²) –

                 - (σ_xσ_yσ_z + 2τ_xyτ_yzτ_zx - σ_xτ_yz² - σ_yτ_zx² – σ_zτ_xy²) = 0.              (22)

Кубічне рівняння (22) має три корені, кожен з яких дає одне з трьох значень головних напружень σ. Хоча компоненти тензора змінні, корені рівняння (22) повинні залишатися незмінними, оскільки головні напруги мають єдине значення для даного напруженого стану. Однозначність рішення забезпечується в тому випадку, якщо коефіцієнти рівняння (22) будуть постійними при перетвореннях (поворотах) системи координат. Інакше кажучи, вирази, які стоять у квадратних дужках, повинні зберігати постійне значення при поворотах системи координат. Співвідношення між компонентами напружень, які не змінюються при повороті системи координат, називають інваріантами. Відповідно до коефіцієнтів рівняння (22) розрізняють

перший, або лінійний інваріант:

    σ_ін1 = σ_x + σ_y + σ_z  = σ₁ + σ₂ + σ₃ = пост₁                                                                   (23)

    другий, чи квадратичный инвариант:

σ_ін2 = σ_xσ_y + σ_yσ_z+σ_zσ_x-τ_xy²-τ_yz²–τ_zx²= σ₁σ_y2 + σ₂σ_з +σ₃σ₁ = пост₂ .            (24)

    третий, чи кубічний інваріант:

    σ_ін3 = σ_xσ_yσ_z +2τ_xyτ_yzτ_zx - σ_xτ_yz² - σ_yτ_zx² – σ_zτ_xy² = σ₁σ₂σ₃ = пост₃.   (25)

    Інваріанти (23) - (25) записані спочатку в довільній, а потім у головній системах координат. При переході до головної системи дотичні компоненти напружень звертаються в нулі, а літерні індекси замінюємо числами.

Інваріанти - найбільш важливі характеристики напруженого стану. Вони дозволяють визначити, чи належать два тензора з різними компонентами, до одного й того ж або до різних напружених станів. За допомогою інваріантів вираження, отриманих у головних осях, можна перетворити для довільних осей. Це дозволяє вирішувати задача в головних осях, що значно спрощує викладення.

Вирішивши рівняння системи (20) спільно з рівнянням (5), можна знайти значення напрямних косинусів головних площадкаів.