Головні дотичні напруги

Нормальні напруження біля матеріальної точки теоретично не обмежені за абсолютною величиною і за поєднання знаків (має лише дотримуватися певне співвідношення між компонентами напружень і механічними властивостями оброблюваного матеріалу, як буде показано нижче). Визначимо, яким може бути найбільше значення дотичних напружень. Для цього спочатку треба визначити площадкаи, на яких значення дотичних напружень екстремальні (максимальні або мінімальні). На головних площадках дотичні напруження відсутні, але з'являються на похилих площадках всередині головного куба. Очевидно, чим більше видалена похила площадка від головних площадок, тим більше величина діючих на ній дотичних напружень.

Досліджуємо на екстремум рівняння для розрахунку дотичних напружень у головних осях (17)

    τ²  = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃² – (σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃²)² .                                  (17)

    Висловимо один з направляючих косинусів через два інших, використовуючи рівняння (5)

а₃² = 1 – а₁²  - а₂² і підставимо його в рівняння (17)

τ² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²(1 – а₁² - а₂²) – [σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃(1 – а₁² - а₂²)]². (26)

    Для визначення значень напрямних косинусів площадкаів, на яких діють екстремальні дотичні напруги, необхідно першу похідну рівняння (26) прирівняти нулю. Оскільки положення таких площадок визначається трьома напрямними косинусами, необхідно розглянути часткові похідні по кожному з них.

Візьмемо часткову похідну рівняння (26) за а₁ і прирівняємо нулю

(∂τ²/∂а₁) = 2σ₁²a₁ - 2σ₃²a₁ - 2 [σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃(1 – а₁²  - а₂²)](2σ₁а₁ – 2σ₃а₃) = 0.

    Скорочуючи на 2(σ₁ – σ₃) і виносячи а₁ за дужки, отримуємо

            (σ₁ + σ₃ - 2σ₁a₁² - 2σ₂a₂² - 2σ₃ + 2σ₃a₁² + 2σ₃a₂²)а₁ + 0.

    Скорочувати на а₁ не можна, так як загубиться корінь а₁ = 0. Групуємо, міняємо знак і скорочуємо на 2

    [(σ₁ - σ₃)a₁² + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₁ - σ₃)/2]a₁ = 0.                                  (27)

    Диференціюючи рівняння (26) за а₂, після аналогічних перетворень отримуємо

    [(σ₁ - σ₃)a₁² + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₂ - σ₃)/2]a₂ = 0.                                  (28)

Якщо в рівняннях (27) і (28) покласти а₁=0 і а₂=0, то, використовуючи (5), знайдемо першу групу напрямних косинусів: а₁=0, а₂=0 і а₃=±1. Отримаємо площадку, нормаль до якої утворює прямі кути з двома осями і паралельна третьій осі. Це головна координатна площадка 102 (Рис.9), нормаллю до неї є вісь 3. На ній дотичні напруження відсутні (мінімальні). Виключаючи з рівняння (26) інші напрямні косинуси і проводячи аналогічні перетворення, отримаємо ще дві групи напрямних косинусів: а₁=0, а₂=±1, а₃=0 і а₁=±1, а₂=0, а₃=0, що відповідають двом іншим головним площадкам

 

Рис. 3.9. Головна площадка 102	Рис.10. Діагональна площадка 23

 

Розглянемо інші групи площадок. Покладемо а₁=0, а₂≠0. Тоді з рівняння (28) маємо

 [(σ₁ - σ₃)0 + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₂ - σ₃)/2] = 0; (σ₂ - σ₃)a₂² = (σ₂ - σ₃)/2; a₂²=½, a₂=± . З рівняння (5) отримуємо значення а₃=± . Таке значення косинусу відповідає куту 45º. Отримали групу напрямних косинусів а₁=0, а₂=± , а₃=± . Отже шукана площадка проходить під кутом 45º до осей 2 і 3 та паралельна осі 1 (перпендикуляр до площадкаа проходить під прямим кутом до першої осі, Рис.10). Площадки, що проходять через діагоналі паралельних граней головного куба, називають діагональними і позначають індексами тих двох осей, до яких вона проходить під кутом 45º. У даному випадку це площадка 23. Аналогічно знайдемо ще дві групи напрямних косинусів: а₁=± , а₂=0, а₃=±  і а₁=± , а₂=± , а₃=0. Ці групи характеризують дві інші площадки - 31 і 12.

У таблиці 3.1 приведені всі 6 груп напрямних косинусів, що визначають положення площадкаів з екстремальними значеннями дотичних напружень. Перші три групи визначають головні площадки, на яких дотичні напруги відсутні (мінімальні), інші три групи - діагональні площадкаи, на яких дотичні напруги досягають максимальних значень (Рис.11). Для напруженого стану, заданого еліпсоїдом обертання, дотичні напруги на двох діагональних площадках також дорівнюють нулю.

Дотичні напруги на діагональних площадках називають головними дотичними напруженнями.

 

Рис3.11. Діагональні площадкаи

Таблиця 3.1

    Значення напрямних косинусів екстремальних площадок

напрямні косинуси	Групи значень напрямних косинусів
	1	2	3	4	5	6
а1	0	0	±1	0	±	0
а2	0	±1	0	±	0	±
а3	±1	0	0	±	±	±

 

Знайдемо величину головних дотичних напружень, підставляючи в рівняння (17) значення напрямних косинусів, взятих з табл. 3.1:

τ₁₂ = (σ₁ – σ₂)/2, τ₂₃ = (σ₂ – σ₃)/2, τ₃₁ = (σ₃ – σ₁)/2.                             (29)

Індекси дотичного напруження показують, до яких осей площадка його дії нахилена під кутом 45º (див. Рис.10). Чисельно головні дотичні напруження дорівнюють половині різниці головних нормальних напруг. Найбільше за абсолютною величиною дотичне напруження дорівнює половині різниці екстремальних головних напруг σ₁ и σ₃, тобто

                             τ_мах = τ₃₁ = ±(σ₃ – σ₁)/2.

З рівнянь (29) випливає, що сума трьох головних дотичних напружень дорівнює нулю:

                                  τ₁₂ + τ₂₃ + τ₃₁ = 0,                                    (30)

отже, знаки двох напруг протилежні знаку третього. Якщо σ₁=σ₂=σ₃, то всі дотичні напруження дорівнюють нулю (раніше було відзначено, що при кульовому напруженому стані всі площадки - головні). Визначимо величину нормальних напружень на діагональних площадках, підставляючи значення напрямних косинусів з табл. 3.1 в рівняння (16). Отримаємо:

    σ₁₂ = (σ₁ + σ₂)/2; σ₂₃ = (σ₂ + σ₃)/2; σ₃₁ = (σ₃ + σ₁)/2,              (31)

то є нормальні напруги на діагональних площадках рівні напівсумі відповідних головних нормальних напружень.