Напряженное состояние точки, напряжения на координатных площадках

В произвольной системе координат 0xyz выберем какую-нибудь элементарную площадку, параллельную одной из координатных плоскостей, например, x0y (Рис.2). На этой площадке действует полное напряжение S, которое можно разложить на две составляющие (компоненты) - нормальную (перпендикулярно площадке) σ и касательную (лежащий в плоскости площадки) - τ.  

Рис.2. Повне, нормальне і дотичне напряженіяв на площадці z	Рис. 3

Компонента σ направлена параллельно оси z, обозначим ее индексом этой оси, то есть σ_z. Компонента τ произвольно расположена относительно координатных осей. Для определенности разложим ее на компоненты вдоль двух других осей и каждую обозначим индексом той оси, которой она параллельна, то есть τ_х и τ_у (рис.3). Таким образом, полное напряжение на площадке состоит из трех компонентов (проекций) - одной нормальной и двух касательных. Напряженное состояние элементарной частицы определяется компонентами напряжений, действующих на трех, сходящихся в одной точке, площадках. Следовательно, оно состоит либо из трех полных напряжений S ', S', S "" (рис.4) или с их девяти проекций, действующих на каждой площадке. Полные напряжение в общем случае не одинаковы по величине, поэтому их компоненты также различны. Нужно отличать компоненты, параллельные между собой, но расположены на разных площадках.

Рис. 4	Рис. 5. Компоненти напружень в оточенні матеріальної точки М

С этой целью компоненты обозначают вторым индексом, обозначающим площадку. Индекс площадки соответствует оси, нормальной к ней (рис.5). Первый индекс каждого компонента напряжений указывает его направление, второй - площадку его действия (адрес). Для нормальных напряжений обозначения направления и адрес совпадают, поэтому их обозначают одним общим индексом. Схема действия всех девяти компонент напряжений показана на рис. 5.

Не важно, какой из индексов первый, а какой второй. Но принятая система расположения индексов должна придерживаться всегда. Начальную точку действия компонент напряжения располагают по середине соответствующей грани элементарного объема, а касательные компоненты направлены навстречу друг другу, так как они должны взаимно уравновешиваться.

Для удобства обращения с компонентами напряжений разместим их в виде таблицы 3х3 так, чтобы в каждой строке были расположены напряжения, направленные вдоль одной и той же оси (с одинаковым первым индексом), а в каждом столбце - напряжения, действующих на одной и той же площадке (с одинаковым адресом):

σ_х        τ_ху     τ_хz → направление х

τ_ух            σ_у      τ_уz → направление у

τ_zх            τ_zу     σ_z → направление z

                               адрес х       адрес у   адрес z

Для равновесия выделенного элемента необходимо, чтобы касательные напряжения, имеющие попарно одинаковые индексы, были равны между собой, то есть τху = τух, τуz = τzу, τzх = τхz (иначе объем будет вращаться с переменной скоростью относительно осей). Эти условия называют законом парности касательных напряжений.

Лекція 2

Напруження на похилій площадці. Рівновага тетраедра. Головні напруги. Еліпсоїд напруг.