2020-04-07
1812
Соединение звездой. При неравномерной нагрузке фаз, когда I А ≠ I В ≠ I С , в нулевом проводе трехфазной системы, соединенной звездой, течет уравнительный ток I 0.
Но ток в участке цепи может течь лишь в том случае, когда на его концах есть разность потенциалов. Следовательно, при неравномерной нагрузке фаз между точками О и О′ возникает разность потенциалов (напряжение). Напряжение между нулевыми точками генераторов и нагрузки называют смещением нейтрали (U 0 ). Из схемы
U 0 = I 0 z 0,
где z 0 – сопротивление нулевого провода.
Смещение нейтрали оказывает сильное влияние на работу нагрузки. По второму правилу Кирхгофа, для контура ОАА′О′О
Ė А = Ů А = Ů 0,
откуда
Ů А = Ė А - Ů 0.
Рассуждая совершенно аналогично для контуров ОВВ′О′О и ОСС′О′О, получим подобные выражения для Ů В и Ů С.
Ů А = Ė А - Ů 0;
Ů В = Ė В - Ů 0;
Ů С = Ė С - Ů 0.
Построим векторную диаграмму этих величин. Для этого отложим векторы фазных э. д. с., которые равны по величине и направлены под углом 1200 друг к другу, и вектор смещения нейтрали, который тоже имеет некоторые величину и направление.
|
|
|
Из формулы Ė А = Ů А = Ů 0 следует, что Ē А можно получить, если к Ū 0 пристроить Ū А, а из диаграммы видно, что для получения Ē А к Ū 0 надо пристроить отрезок О′А. Следовательно, этот отрезок и будет выражать Ū А. Рассуждая аналогично в отношении э. д. с. Е В и Е С, придем к выводу, что отрезок О′В изображает Ū В, а отрезок О′С изображает Ū С.
Из этой диаграммы видно, что напряжения на фазах оказываются неодинаковыми, наступает так называемый перекос фазных напряжений. Перекос фазных напряжений – явление весьма нежелательное, оно нарушает работу отдельных фаз. Из этой же диаграммы следует, что причиной перекоса является смещения нейтрали, и чем больше Ū 0, тем разница между фазными напряжениями больше, чем меньше Ū 0, тем фазные напряжения более симметричны, и если Ū 0 = 0, то точка О′ сольется с О и фазные напряжения станут совершенно одинаковы. Следовательно, при эксплуатации трехфазных систем надо стремиться к тому, чтобы смещение нейтрали было возможно меньше.
Из формулы U 0 = I 0 z 0 следует, что для уменьшения U 0 надо уменьшать либо I 0, либо z 0. Уменьшить уравнительный ток I 0 можно, выравнивая нагрузку фаз. Если это по каким-либо причинам невозможно, а смещение нейтрали слишком велико, то надо уменьшать сопротивление нулевого провода z 0, то есть увеличивать его сечение, железный провод заменять алюминиевым или медным.
Если потенциал нулевой точки генератора принять равным нулю и посчитать, что на диаграмме ей соответствует точка О, то любая другая точка на этой диаграмме будет соответствовать совершенно определенной точке цепи и отрезок, соединяющий две любые точки на диаграмме, будет определять по величине и фазе напряжения между соответствующими точками цепи.
|
|
|
Такая диаграмма, любая точка которой соответствует определенной точке цепи, называется топографической. На рисунке
точка О′ соответствует нулевой точке нагрузки, точки А, В и С – точкам А, В, и С цепи, отрезок ОО′ отображает смещение нейтрали, отрезки АВ, ВС и СА – линейные напряжения U АВ, U ВС, U СА и т.д.
Расчет трехфазной системы, соединенной звездой. Под расчетом трехфазной системы подразумевают определение фазных и линейных токов, фазных напряжений, потребляемой мощности, коэффициента мощности, а при необходимости и ряда других величин.
При этом заданными обычно являются фазные э. д. с. источника тока, его внутреннее сопротивление, сопротивления проводов и фаз нагрузки.
Трехфазная система, соединенная звездой, представляет собой цепь с двумя узловыми точками. Следовательно, трехфазную систему, соединенную звездой, можно рассчитывать методом узлового напряжения, только оперировать следует не абсолютными значениями величин, а их комплексными выражениями.
Попытка определить фазные токи (а следовательно, и линейные) по формуле
I Ф = U Ф
z
приведет к неверным результатам, так как при неравномерной нагрузке фаз фазные напряжения неодинаковы и нам не известны. Порядок расчета лучше всего проследить на примере.
Пример. Определить линейные токи и напряжения на фазах нагрузки, которая питается от трехфазного генератора, с фазными э. д. с. Е Ф = 220 в и внутренним сопротивлением Х Lо = 1 ом, если сопротивления фазных проводов чисто активные, R пр = 2 ом, сопротивление нулевого провода Z о = (1+ j2) Ом, а сопротивление фаз нагрузки выражается комплексами:
Z А = (3 + j4) ом, Z В = (6 + j5) ом, Z С = (5 + j6) О м
Решение. Выразим фазные э. д. с. в комплексной форме. Направим Ē А по действительной оси, тогда
Ė А = 220 в, Ė В = 220е-j120о = 220 (- 0,5 – j 0,87) = (- 110 – j 192) в,
Ė С = 220е120о = 220 (- 0,5 + j 0,87) = (- 110 + j 192) в.
«Внесем» внутренние сопротивления фаз генератора и сопротивления фазных проводов в нагрузку. Сопротивление и проводимость фазы нагрузки с «внесенными» туда сопротивлениями обозначим знаком штрих.
Z′ А = Z А + jХ Lо + R пр = 3 + j 4 + j 1 + 2 = (5 + j5) ом;
Z′ В = Z В + jХ Lо + R пр = 6 + j 5 + j 1 + 2 = (8 + j6) ом;
Z′ С = Z С + jХ Lо + R пр = 5 + j 6 + j 1 + 2 = (7 + j7) ом.
Определим проводимость ветвей:
Y′А = _ 1_ = _1__ = (0,1 – j 0,1) сим;
Z′ А 5 + j 5
Y′В = _ 1_ = _1__ = (0,08 – j 0,06) сим;
Z′ В 8 + j 6
Y′С = _ 1_ = _1__ = (0,07 – j 0,07) сим;
Z′ С 7 + j 7
Y′0 = _ 1_ = _1__ = (0,2 – j 0,4) сим.
Z 0 1+ j 2
Определяем смещение нейтрали (узловое напряжение):
Ů 0 = ĖАY ′ А _+_ ĖВY ′ В _+ ĖСY ′ С =
Y ′ А + Y ′ В + Y ′ А + Y0
= 220 (0,1 – j 0,1) + (- 110 – j192) ∙ (0,08 – j 0,06) + (- 110 + j192) ∙ (0,07 – j 0,07) =
0,1 - j 0,1 + 0,08 – j 0,06 + 0,07 – j 0,07 + 0,2 – j 0,4
|
|
|
= 15,7 + j 0,6 ≈ 15,7 в.
Находим токи в ветвях (линейные токи):
İ А = (ĖА - Ů 0) Y ′ А = (220 – 15,7) (0,1 – j 0,1) = (20, 43 – j 20,43) а;
İ В = (ĖВ – Ů 0) Y ′ В = (- 110 – j 192 – 15,7) (0,08 – j 0,06) = (- 21,5 – j 7,8) а;
İ С = (ĖС – Ů 0) Y ′ С = (- 110 – j 192 – 15,7) (0,07 – j 0,07) = (- 21,13 + j 4,67) а,
то есть
I А = √ 20,432 + 20,432 = 28,6 а; I В = √21,52 + 7,82 = 22,9; I С = √22,132 + 4,672 = 22,6 а
Определяем напряжение на фазах:
Ů А = İ А Z А = (20,43 – j 20,43) (3+ j 4) = (143 + 20,4) в;
Ů В = İ В Z В = (- 21,5 – j 7,8) (6 + j 5) = (-89,8 – j 154,3) в;
Ů С = İ С Z С = (- 22,13 – j 4,67) (5 + j 6) = (-139,2 – j 109,5) в,
или
U А = √1432 + 20,412 ≈ 144 в; U В = √89,82 + 154,32 = 178 в; U С = √139,22 + 109,52 = 177 в
По полученным данным можно найти все остальные величины (мощности, линейные напряжения на нагрузке, падение напряжения в линии и т.п.).
Нагрузку, работающую без нулевого провода, рассчитываю так же, но в знаменателе уравнения U 0 отсутствует слагаемое Y 0 (Y 0 = 0):
Ů 0 = Ė А Y′ А + Ė В Y′ В + Ė С Y′ С
Y′ А + Y′ В + Y′ С
Часто приходится определять линейные токи и другие параметры нагрузки, когда заданы сопротивления ее фаз и линейное напряжение в сети, к которой подсоединена нагрузка. При этом сопротивления проводов могут быть заданы, а могут быть неизвестны. В этом случае заданное линейное напряжение считают линейным напряжением воображаемого генератора, соединенного звездой, с внутренним сопротивлением, равным нулю,
и расчет опять ведут по методу узлового напряжения. При этом в качестве фазных э.д.с. используют фазные напряжения, подсчитанные по заданному линейному.
Пример. Три активных сопротивления R А, R В, , R Ссоединены звездой без нулевого провода и подсоединены к щиту, линейное напряжение на зажимах А, В и С которого 380 в. Определить напряжения на фазах и линейные токи этой нагрузки, если R А = 20 ом; R В = 20 ом; R С = 5 ом.
Решение. Считаем зажимы А, В и С зажимами генератора, соединенного звездой,
тогда Е А = Е В = Е С = 380 = 220 в
√3
Ė А = 220 в, Ė В = 220 е - j 120о = (-110 – j 192) в; Ė С = 220 е - j 120о = (-110 – j 192) в
|
|
|
Так как нагрузка чисто активная, то
Z А = R А + j 0 = 20 + j 0 = 20 ом, Z В = 10 ом, Z С = 5 ом.
Сопротивление подводящих проводов не заданы, значит, ими можно пренебречь, внутреннего сопротивления у воображаемого генератора нет, поэтому
Y А = _1_ = _1_ = 0,05 сим; Y В = _1_ = _1_ = 0,1 сим; Y С = _1_ = _1_ = 0,2 сим
Z А 20 Z В 10 Z С 5
Так как нагрузка работает без нулевого провода, то Z 0 = ∞ и Y 0 = 0.
Тогда
Ů 0 = Ė А Y А + Ė В Y В + Ė С Y С =
Y А + Y В + Y С
= 220 ∙ 0,05 + (- 110 - j 192) 0,1 + (- 110 + j 192) 0,2 = (-62,8 + j 54,8) в.
0,05 + 0,1 + 0,2
Линейные токи
İА = (Ė А - Ů 0) Y А = (220 + 62,8 - j 54,8) 0,05 = (14,1 – j 2,74) а;
İВ = (Ė В - Ů 0) Y В = (- 110 - j 192 + 62,8 - j 54,8) 0,1 = (- 4,72 - j 24,68) а;
İС = (Ė С - Ů 0) Y С = (- 110 - j 192 + 62,8 - j 54,8) 0,1 = (- 4,72 + j 27,4) а;
или
İА = √ 14,12 + 2,742 = 14,2 а; İВ = √ 4,722 + 24,682 = 25,1 а; İС = √ 9,442 + 27,42 = 29 а.
На основании формулы,
Ů А = Ė А - Ů 0;
Ů В = Ė В - Ů 0;
Ů С = Ė С - Ů 0.
Ů А = Ė А - Ů 0 = 220 + 62,8 - j 54,8 = (282,8 - j 54,8) в;
Ů В = Ė В - Ů 0 = (-110 - j 192) + 62,8 - j 54,8 = (-47,2 – j 246,8) в;
Ů С = Ė С - Ů 0 = (-110 + j 192) + 62,8 - j 54,8 = (-47,2 + j 137,2) в,
или
U А = √ 282,22 + 54,82 = 288 в; U В = √ 47,22 + 246,82 = 252 в; U С= √ 472 + 137,22 = 145 в.
Из этого примера видно, насколько велика роль смещения нейтрали и насколько несимметричными могут быть из-за этого фазные напряжения.
Все варианты симметричной нагрузки, соединенной звездой, можно рассчитывать тоже по методу узлового напряжения, но при симметричной нагрузке смещение нейтрали отсутствует (U 0 =0), поэтому все фазные напряжения равны друг другу и
І л = І ф = U ф = U л_ __,
z √ 3 z
где z – сопротивление одной фазы нагрузки.
При этом если сопротивления фазных проводов и внутренние сопротивления генератора надо учитывать, то их надо «внести» в сопротивление фаз нагрузки и
І л = U л_ __,
√ 3 z ′
Соединение треугольником. При соединении неравномерной нагрузки треугольником
явлений, подобных смещению нейтрали и перекосу фазных напряжений, не наблюдается, но неравномерная нагрузка фаз вызывает неравенство линейных токов и неодинаково нагружает фазы генератора. Из-за этого падения напряжения в отдельных проводах и на внутренних сопротивлениях фаз генератора несколько отличаются друг от друга, поэтому и фазные напряжения оказываются неодинаковыми. Но это неравенство незначительно и при правильном выборе проводов оно настолько мало, что им пренебрегают и считают, что неравномерность нагрузки на фазных напряжениях не отражается.
Расчет нагрузки, соединенной треугольником. При этом следует рассмотреть два основных случая: а) сопротивлением подводящих проводов и внутренним сопротивлением генератора можно пренебречь; б) указанными сопротивлениями пренебрегать нельзя.
Когда сопротивлением фазных проводов и внутренним сопротивлением генератора можно пренебречь, напряжения на фазах нагрузки равны линейному напряжению генератора или сети, к которой эта нагрузка присоединяется, поэтому по заданному линейному напряжению и сопротивлению фаз нагрузки определяют фазные токи, а по ним и линейные токи как геометрические разности соответствующих фазных.
Пример. Определить линейные токи и активную мощность нагрузки, присоединенной к сети с линейным напряжением 380 в, если сопротивления ее фаз Z АВ = (3 + j 4) ом; Z ВС = (16 + j 12) ом; Z СА = (7 + j 7 ) ом.
Решение. Направим вектор линейного напряжения U АВ по действительной оси, тогда Ů АВ = 380 в;
Ů АВ = 380 е - j 120о = 380 (- 0,5 – j 0,87) = (- 190 – j 331) в;
Ů АВ = 380 е j 120о = (- 190 – j 331) в.
Сопротивления фаз в показательной форме
Z АВ = 3 + j 4 ≈ 5 е j 53о ом; Z ВС ≈ 20 е j 37о ом; Z СА ≈ 10 е j 45о ом.
Фазные токи
İ АВ = Ů АВ = 380 = 76 е - j 53о = (45,7 – j 60,9) а;
Z АВ 5еj 53о
İ ВС= Ů ВС = 380 е – j 120о = 19 е- j 157о = (- 17,5 – j 7,4) а;
Z ВС 20 е j 37о
İ СА= Ů СА = 380 е j 120о = 38 е j 75о = (9,81 + j 36,3) а.
Z ВС 10 е j 45о
Так как фазные токи неодинаковы, то линейные приходится находить, как разность соответствующих фазных:
İ А = İ АВ - İ СА = 45, 7 – j 60,9 – 9,81 – j 36,3 = (35,89 – j 97,2) а;
İ В = İ ВС - İ АВ = - 17,5 – j 7,4 – 45,7 + j 60,9 = (- 63,20 + j 53,5) а;
İ С = İ СА – İ ВС = 9,81 + j 36,3 + 17,5 + j 7,4 = (27,31 + j 43,7) а.
или
І А = √ 35,892 + 97,22 = 103,8 а; І В = √ 63,302 + 53,52 = 82,8 а;
І С = √ 27,312 + 43,72 = 51,6 а.
Фазные мощности:
Š АВ = Ů АВ Ĩ АВ = 380 (45,7 + j 60,9) = (17 400 + j 23 150) ва;
Š ВС = Ů ВС Ĩ ВС = (- 190 + j 7,4) = (5780 + j 4390) ва;
Š СА = Ů СА Ĩ СА = (- 190 + j 331) (9,81 – j 36,3) = (10 180 + j 10 145) ва.
Активная мощность всей цепи
Р = Р АВ + Р ВС + Р СА = 17 400 + 5780 + 10 180 = 33 360 вт.
Если нагрузка симметрична, то фазные токи одинаковы, расчет значительно упрощается и его можно провести без использования комплексных чисел.
І Ф = U л; І л = І Ф √ 3, а Р = √ 3 U л І л cos φ.
z
Если сопротивлениями подводящих проводов или внутренним сопротивлением фаз генератора пренебречь нельзя,
То сопротивления проводов Z пр и внутреннее сопротивление фаз генератора (если оно задано) надо «внести» в фазы нагрузки, а для этого треугольник следует заменить эквивалентной звездой и «вносить» их уже в фазы звезды. Затем решать цепь так, как ее решают при соединении нагрузки звездой.
Пример. Определить линейные токи нагрузки, изображенной на рисунке, если она питается от сети с U л = 380 в, причем
Ż АВ = (7 + j 7) ом, Ż ВС = 10 ом; Ż СА = 20 ом; Ż пр = 2 ом.
Решение. Треугольник А΄В΄С΄ преобразуем в эквивалентную звезду
Z А = __ Z АВ ZС А____ = _ (7 + j 7)· 20_ = (7 + j 7)· 20 = (4,73 + j 3,35) ом;
Z АВ + Z ВС + ZС А 7 + j 7 + 10 + 20 37 + j 7
Z В = __ Z АВ Z ВС____ = _ (7 + j 7)· 10 = (2,365 + j 1,675) ом;
37 + j 7 37 + j 7
Z С = __ ZС А Z ВС____ = 20 · 10_ = (5,2 - j 0,982) ом.
37 + j 7 37 + j 7
Внесем сопротивления проводов в фазы звезды:
Z ΄А = Z А + Z пр = 4,73 + j 3,35 + 2 = (6,73 + j 3,35) ом;
Z ΄В = Z В + Z пр = 2,365 + j 1,675 + 2 = (4,365 + j 1,675) ом;
Z ΄С = Z С + Z пр = 5,2 – j 0,982 + 2 = (7,2 – j 0,982) ом.
Э. д. с. воображаемого генератора Е Ф = 380 = 220 в
√ 3
Направим Ē А по действительной оси, тогда Ė А = 220 в. Ė В = 220 е – j 120о =
= (- 110 – j 192) в; Ė С = 220 е j 120о = (- 110 + j 192) в.
Проводимость ветвей:
Y ΄А = _1_ = _ ___1_____ = (0,119 - j 0, 059) сим;
Z ΄А 6,73 + j 3,35
Y ΄В = _1_ = _ ___1_______ = (0,2 - j 0,0765) сим;
Z ΄В 4,365 + j 1,675
Y ΄С = _1_ = _ ___1_______ = (0,1795 + j 0,0338) сим.
Z ΄С 5,2 – j 0,982
Узловое напряжение
Ů 0 = Ė А Y ΄А + Ė В Y ΄В + Ė С Y ΄С =
Y ΄А + Y ΄В + Y ΄С
= 220 (0,119 – j 0,059) + (-110 – j 192) (0,2 – j 0,0765) + (-110 + j 192) (0,1795 + j 0,0338) =
0,119 – j 0,059 + 0,2 – j 0,0765 + 0,1795 + j 0,0338
= (-21,2 – j 64,3) в.
Линейные токи:
İ А = (Ė А - Ů 0) Y ΄А = (220 + 21,2 + j 64,3) (0,119 – j 0,059) = (33,5 – j 6,6) а;
İ В = (Ė В - Ů 0) Y ΄В = (- 110 – j 192 + 21,2 + j 64,3) (0,2 – j 0,0765) = (-27,6 – j 18,7) а;
İ С = (Ė С - Ů 0) Y ΄С = (-110 + j 192 + 21,2 + j 64,3) (0,1795 + j 0,0338) = (-26,67 + j 43) а.
или
I А = √ 33,52 + 6,62 = 34,2 а; I В = √ 27,62 + 18,72 = 33,3 а; I С = √ 24,672 + 432 = 50,6 а.
Если нагрузка будет симметричной, то решение будет отличаться тем, что после преобразования треугольника в звезду и «внесения» в нее сопротивлений проводов, нет надобности заканчивать решение методом узлового напряжения, так как звезда будет симметричной, напряжения на ее фазах будут одинаковые и их можно подсчитать по заданным линейным напряжениям.
