Всякую несимметричную систему трех вращающихся векторов можно рассматривать состоящий из трех симметричных систем:
1) симметричной системы трех вращающихся векторов прямой последовательности;
2) симметричной системы трех вращающихся векторов обратной последовательности;
3) симметричной системы трех вращающихся векторов нулевой последовательности.
Системой нулевой последовательности называют систему трех вращающихся вектров, совпадающих друг с другом по фазе.
На рисунке изображена заданная несимметричная система, состоящая из трех векторов А, В, и С, и ее симметричные составляющие.
Составляющие прямой последовательности принято отмечать индексом 1, обратной – индексом 2 и нулевой – индексом 0.
Симметричная система А 1 В 1 С 1 имеет прямую последовательность, так как в ней за вектором А идет вектор В, а затем вектор С (векторы вращаются против часовой стрелки), то есть в том порядке, что и в заданной несимметричной системе.
Симметричная система А 2 В 2 С 2 – обратной последовательности, так как в ней за вектором а идет вектор С, а не В. Система А 0 В 0 С 0 – нулевой последовательности, у нее все три вектора по фазе друг с другом совпадают.
Если все эти три симметричные системы сложить, то получится заданная несимметричная система, причем
А ' = А '1 + А '2 + А '0; В '= В '1 + В '2 + В '0; С ' = С '1 + С '2 + С '0.
Разложить несимметричную систему на симметричные составляющие – это значит определить векторы симметричных систем, то есть определить их величины и направления, причем так как искомые системы симметричны, то нет необходимости определять девять векторов. Достаточно определить по одному вектору из каждой системы (например, А '1, А '2 и А '0), а остальные будут такими же, но только повернуты относительно А '1 и А '2 на 120о. легче всего найти Ã 1, Ã 2и Ã 0, а комплексы отражают величины векторов и их направления. При этом несимметричная система должна быть задана комплексами А ˚, В ˚ и С ˚, таким образом, задача сводится к нахождению А '1, А '2 и А '0 по заданным А ˚, В ˚ и С ˚.
Представим себе, что разложение уже произведено и симметричные системы, изображенные на рисунке, являются составляющими заданной несимметричной системы, состоящей из А ', В ' и С '. Тогда
А ˚ = А ˚0 + А ˚1 + А ˚2;
В ˚ = В ˚0 + В ˚1 + В ˚2;
С ˚ = С ˚0 + С ˚1 + С ˚2.
Для краткости будем считать, что е – j 120о = С ˚ а. умножение вектора на такой поворотный множитель означает поворот его в положительную сторону на 120 о. Так как поворот в отрицательную сторону на 120о равносилен двукратному повороту вперед на 120о, то
е – j 120о = е j 240о = е j 120о · е j 120о = а 2.
Умножение вектора на а 3 означает трехкратный поворот вектора на 120о, отчего вектор становится в свое исходное положение, поэтому а 3 = 1 и а 4 = а 3 а = а.
Так как сумма трех одинаковых векторов, сдвинуты по фазе на 120о, равна нулю, то 1 + 1 а + 1 а2 = 0.
В уравнениях
А ˚ = А ˚0 + А ˚1 + А ˚2;
В ˚ = В ˚0 + В ˚1 + В ˚2;
С ˚ = С ˚0 + С ˚1 + С ˚2.
В ˚1 = а 2 А ˚1; С ˚1 = а А ˚1; В ˚2 = а А ˚2 ; С ˚2 = а 2 А ˚2; А ˚0 = В ˚0 = С ˚0
В связи с этим
А ˚ = А ˚0 + А ˚1 + А ˚2;
В ˚ = А ˚0 + а 2 А ˚1 + а А ˚2;
С ˚ = А ˚0 + аА ˚1 + а 2 А ˚2.
Сложив эти уравнения, получим:
А ˚ + В ˚ + С ˚ = А ˚0 + А ˚1 + А ˚2 + А ˚0 + а 2 А ˚1 + а А ˚2 + А ˚0 + аА ˚1 + а 2 А ˚2 =
= 3 А ˚0 + А ˚1 (1 + а 2 + а) + А ˚2 (1 + а + а 2) = 3 А ˚0,
откуда
А ˚0 = А ˚ + В ˚ + С ˚
3
Умножим В ˚ = А ˚0 + а 2 А ˚1 + а А ˚2 на а, а уравнение С ˚ = А ˚0 + аА ˚1 + а 2 А ˚2 на а 2, тогда система уравнений примет вид:
А ˚ = А ˚0 + А ˚1 + А ˚2; аВ ˚ = аА ˚0 + А ˚1 + а 2 А ˚2; а 2 С ˚ = а 2 А ˚0 + А ˚1 + аА ˚2.
Складывая уравнения почленно, получим:
А ˚ + аВ ˚ + а 2 С ˚ = А ˚0 (1 + а + а 2) + 3 А ˚1 + А ˚2 (1 + а 2 + а) = 3 А 1.
Откуда
А ˚1 = А ˚ + аВ ˚ + а 2 С ˚.
3
Умножим уравнение В ˚ = В ˚0 + В ˚1 + В ˚2 на а 2, а уравнение С ˚ = С ˚0 + С ˚1 + С ˚2 на а.
Тогда
А ˚ = А ˚0 + А ˚1 + А ˚2; а 2 В ˚ = а 2 А ˚0 + аА ˚1 + А ˚2; аС ˚ = аА ˚0 + а 2 А ˚1 + А ˚2.
Складывая их почленно, получим:
А ˚ + а 2 В ˚ + аС ˚ = А ˚0 (1 + а 2 + а) + А 1 (1 + а + а 2) + 3 А ˚2 = 3 А ˚2.
Откуда
А ˚2 = А ˚ + а2В ˚ + аС.
3
По этим уравнениям и определяют симметричные составляющие заданной несимметричной системы.
Если задана несимметричная система линейных напряжений,
то
Ů АВо = Ů АВ + Ů ВС + Ů СА = 0,
3
так как
Ů АВ + Ū ВС + Ū СА = 0,
То есть в линейныхнапряжениях всегда отсутствует составляющая нулевой последовательности и всякая несимметричная система линейных напряжений состоит только из систем прямой и обратной последовательности, причем чем более несимметрична система линейных напряжений, тем больше величина векторов обратной последовательности, и наоборот. Если несимметричная система линейных напряжений станет симметричной, то векторы обратной последовательности при этом станут равными нулю и теперь уже ставшая симметричной система линейных напряжений будет состоять только из одной системы прямой последовательности, то есть из самой себя. В связи с этим по величине векторов обратной последовательности можно судить о степени несимметричности линейных напряжений, и отношение модуля векторов обратной последовательности к модулю векторов прямой последовательности, выраженное в процентах, называют степенью асимметрии (несимметрии) и обозначают буквой α:
Α = U 2 100%
U 1
По нормам степень ассиметрии линейных напряжений не должна превышать 5 %.
Пример. Определить степень ассиметрии линейных напряжений, если они выражаются следующими комплексами:
Ů АВ = 220 е j 90о = j 220 в; Ů ВС = 220 в; ŮС А = 298- j 135о = (- 200 – j 200) в.
Составляющая нулевой последовательности U АВ0 = 0.
Составляющая прямой последовательности
Ů АВ1 = Ů АВ + а Ů ВС + а 2 ŮС А = j 220 + е j 120о200 + е - j 120о298 е - 135о =
3 3
= j 220 + (-0,5 + j 0,87)200 + (-0,5 – j 0,87) (-200 - j 220) = (-67 + j 226) в.
3
Составляющая обратной последовательности
Ů АВ2 = Ů АВ + а 2 Ů ВС + а ŮС А =
3
= j 220 + (- 0,5 – j 0,87) 200 + (-0,5 + j 0,87) (-200 – j 220) = (60,5 – j 6) в
3
Чтобы построить систему прямой последовательности, задается масштабом и строим Ů АВ1 в соответствии с его комплексом. К его началу пристраиваем еще два таких же вектора, повернутых относительно Ů АВ1 вправо и влево на углы по 120о.
Точно так же и в том же масштабе строим систему обратной последовательности. Если обе симметричные системы сложить, то получится заданная система линейных напряжений, изображенная слева.
Модуль векторов прямой последовательности
Ů АВ1 = √ 672 + 2262 = 235 в.
Модуль векторов обратной последовательности
Ů АВ2 = √ 60,52 + 62 = 60,8 в.
Степень ассиметрии
Α = Ů АВ2 100 = 60,8 100 = 25,9%
Ů АВ1 235
В сетях такую несимметричность линейных напряжений допускать нельзя. Надо найти причину ассиметрии и устранить ее. Можно считать, что в сети с такими линейными напряжениями действуют два напряжения: 235 в – прямой последовательности и 60,8 в – обратной последовательности. Если в нее включить, например, трехфазный двигатель, то напряжение в 235 в прямой последовательности будет создавать в нем вращающий момент, а напряжение в
60,8 в – обратной последовательности. Будет создавать хотя и меньший вращающий момент, но направленный в обратную сторону, и нормальная работа машины будет нарушена. Поэтому не допускают, чтобы составляющая обратной последовательности превышала 5% составляющей прямой последовательности (чтобы ее роль не была значительной).
Кроме того, прием разложения несимметричной системы векторов на симметричные составляющие используется для анализа режимов в трехфазных цепях при однофазных и двухфазных коротких замыканиях, при обрывах в линиях.
Технологическая карта№11