Відомості про деякі відомі розподіли

 

Дискретна випадкова величина (біноміальний розподіл) описується схемою Бернуллі: якщо випадкова подія А в n незалежних іспитах зустрілася m разів, то р – імовірність появи події А у кожному іспиті. Формула Бернуллі (дозволяє оцінити імовірність того, що серед n взятих навмання елементів виявиться m очікуваних. Даний розподіл характеризується двома параметрами: середнім числом очікуваного результату (математичне очікування) і дисперсією частоти події А в n незалежних іспитах

 

 

і має вигляд

 

 

Граничним випадком біноміального розподілу є формула Пуассона:

 

 

Випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо вона приймає рахункову множину можливих значень 0, 1, 2, з імовірностями . Коли у схемі Бернуллі імовірність появи події А (величина p = соті чи тисячні частини одиниці), тобто частина успіхів дуже мала, розподіл частот таких рідких подій у n іспитах стає несиметричним і зазвичай описується формулою Пуассона. Розподіл характеризується одним параметром – середньою величиною, рівною a, середнє квадратичне відхилення в даному випадку також дорівнює а. Для такого розподілу характерна висока варіація. Зі зростанням значень а розподіл прагне до нормального закону. Розподіл Пуассона є моделлю, яку можна використовувати для опису випадкового числа появи визначених подій у фіксованому проміжку часу.

Безперервний розподіл – це рівномірний розподіл на відрізку [0,1]:

 

 

Безперервний розподіл можна розповсюджувати на випадок відрізка [0,1], тоді імовірність приймати значення в будь-якій точці відрізка дорівнює . Математичне очікування розподілу дорівнює , дисперсія дорівнює .

Безперервний експонентний (показовий) розподіл має вигляд:

 

 

де  – параметр експонентного розподілу.

Математичне очікування дорівнює , а дисперсія – .

5. Розподіл Максвелла (безперервний розподіл) має вигляд:

 

 

і описує асиметричні розподіли. У цій формулі параметр а дорівнює середньому арифметичному, помноженому на величину 0,6267. Характерною ознакою розподілу Максвелла є рівність середнього квадратичного відхилення величини 0,674а. Крива розподілу за формулою нагадує нормальний розподіл, але починається від нуля, крутіше піднімається з боку малих значень випадкової величини і потім, досягши максимуму, більш полого спадає убік великих значень. Такий розподіл виникає, наприклад, при побудові розподілу осіб і популяції за їхніми відстанями до оптимального фенотипу, що зворотньопропорційні їх фенотиповій цінності.

Розподіл Шарльє (безперервний) має вигляд:

 

 

де р(x) – щільність нормального розподілу;

р¢(x) – похідна відповідного порядку щільності нормального
розподілу р(х);

Ах – асиметрія;

Ех – ексцес.

Розподіл Шарльє описує асиметричний розподіл з вираженим ексцесом, що виникає при порушенні форми кривої, характерної для нормального розподілу. Така крива розподілу є асиметричною, її звоноподібна вершина стає пікоподібною, чи трапецієподібною. За допомогою розподілу такого виду «конструюються» порушення нормальної форми розподілу.

Гамма-розподіл (безперервний) має вигляд:

 

 

де Г(a) – гамма-функція. Її визначення за Ейлером задається співвідношенням:

 

 

Основні властивості гамма-функції: Г(1)=1, Г (х+1)=хГ(х).

Гамма-функція являє собою двопараметричний розподіл, де a – параметр форми, а b – параметр масштабу. Математичне очікування дорівнює ab, дисперсія задається співвідношенням: ab², мода дорівнює (a-1)b при a³1. Гамма-функція є безперервним аналогом негативного біноміального розподілу. При a=1 гамма-розподіл збігається з показовим, при a=n, b=1/(n гамма-розподіл називається ерлангівським розподілом з параметрами (n,m) і описує розподіл тривалості інтервалу часу до появи n подій процесу Пуассона з параметром m.