Формулювання задачі оптимального керування в термінах відображень

Сформулюємо задачу оптимального стохастичного керування (4) – (5), а також алгоритм динамічного програмування за допомогою відображення , яке задане формулою:

.

Розглянемо оператори  і , які відображують множину функцій, що приймають дійсні значення на , в себе:

,

, .

За таких позначень задачу оптимального стохастичного керування (4) – (5) можна записати у вигляді:

,

,

де , , а  – суперпозиція операторів  (нагадаємо, що суперпозицією відображень  і  називається відображення  таке, що , ).

Алгоритм динамічного програмування (9) – (10) у термінах відображень можна записати у такий спосіб:

, ,

звідки випливає, що , де  – -кратний добуток оператора  на себе.

Задачу з нескінченним горизонтом (6)-(7) у термінах відображень
можна сформулювати в такий спосіб.

,

.

Функціональне рівняння Беллмана тепер буде еквівалентно рівності

, .