Пример решения задачи по теме «Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости»

Лекция 4. Определение гидродинамики. Уравнение Бернулли

4.1.Определение гидродинамики.

4.2. Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости.

Вопросы для контроля знаний.

Определение гидродинамики

Гидродинамика — раздел гидравлики, в котором изучаются движение жидкости под действием внешних сил и механическое взаимодействие жидкости и соприкасающимися с ней твердыми телами при их относительном движении.

Для описания течения жидкостей с применением современного математического аппарата, в качестве объекта исследования используют абстрактную, не существующую в природе абсолютно несжимаемую и не­вязкую жидкость, которую называют идеальной жидкостью. Описание течения реальных жидкостей произво­дится на основании математических моделей, составленных для идеальной жидкости, с введением в них кор­ректирующих поправок.

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной мас­совой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.

Как было доказано ранее, при переходе жидкости с участка трубы с большим сечением на участок с мень­шим сечением скорость течения возрастает, т.е., на рассматриваемом участке жидкость движется с ускорением. Следовательно, на жид­кость действует сила. В горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений в сечениях 1-1 и 2-2: давление в сечении 1-1 больше, чем в сечении 2-2, что и обеспечивает течение жидкости в данном направлении

Рассмотрим трубу переменного сечения, участки которой расположены на разной высоте. Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным дей­ствием силы давления и силы тяжести.

Применим к некоторому выделенному в потоке объему жидкости массой т теорему механики о том, что работа всех сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела (рис. 2.13).

 

Рис. 2.13. К выводу уравнения Бернулли

При перемещении выделенного объема жидкости из сечения 1-1 в сечение 2-2 за время t силы давления совершают работу Ар.

 

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объема:

Приращение кинетической энергии равно:

Таким образом,

Отсюда следует

Разделив все члены уравнения на m и сгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости, записанное в энергетической форме:

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль потока полной удельной энергии жидкости, т.е. выражает закон сохранения механиче­ской энергии в идеальной жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, давления и кинетическая энергия.

Первая и третья формы механической энергии извест­ны из механики и в равной степени свойственны твердым и жидким телам. Энергия давления является специ­фической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, однако величина полной удельной энергии жидкости остается неизменной. Разделив все члены уравнения Бернулли на g, получим другую форму его записи:

Трехчлен вида:

называют полным напором.

Очевидно, что для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров (высот): геометрического, пьезо­метрического и скоростного есть величина постоянная вдоль потока(рис.2.14).

 

Рис. 2.14. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости

Замер напоров в трех сечениях трубы переменного сечения осуществляется пьезометрами и трубками Пито. Напомним, что пьезометры служат для измерения пьезометрического напора р / (pg). Трубки Пито, пред­ставляющие собой изогнутые трубки, отверстия которых расположены перпендикулярно линиям тока жидко­сти, а противоположные колена ориентированы вертикально, показывают полный, за исключением геометри­ческого, напор, т.е. p/(pg) + v²/(2g).

Разность показаний трубок Пито и пьезометров представляют собой скоростной напор v²/(2g) в данном се­чении.

Линию изменения пьезометрических высот называют пьезометрической линией, ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль потока.

Штриховой линией на рис. 2.14 показана пьезометрическая линия при увеличении расхода жидкости в √2 раз, вследствие чего скоростные высоты увеличиваются в 2 раза, а в узкой части потока давление становится меньше атмосферного.

В ряде случаев удобно применять форму записи уравнения Бернулли, в которой члены уравнения имеют размерность давления:

Мощность потока

 

При решении многих инженерных задач необходимо знать мощность потока.

Работа, которую может совершать единица массы, объема или силы тяжести, определяется полным удельным запасом энергии, давлением и напором, поэтому для получения мощности необходимо умножить их на расходы соответственно массовый, объемный и весовой. Тогда мощность потока

N_п = e_пρQ = p_пQ = HρgQ[Вт]

Для перемещения вязкой жидкости необходимо сообщить потоку энергию, покрывающие потери напора.

Приращение мощности, получаемое потоками, проходящими через гидравлические и пневматические машины, определяется по перепаду: полных удельных энергий потоков – входящего в машину и выходящего из нее, то есть, е_п = е_п2 – е_п1; полных давлений р_п = р₂ – р₁; полных напоров Н = Н₂ – Н₁.

 

Вопросы для контроля знаний.

1. Определение гидродинамики.

2. Вывод уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости.

3. Энергетический смысл уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости. Три формы механической энергии.

4. Энергетическая форма уравнения Бернулли. Понятие напора.

5. Способ определения скоростного напора с помощью трубок Пито.

6. Мощность потока.

 

 

Пример решения задачи по теме «Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости»