Дистанционный отборочный этап

Класс

1. Высота орбиты спутника 333 км. Какие максимальные красное и фиолетовое смещения испытывает сигнал спутника при его приёме на Земле?

Решение

Красное и фиолетовое смещения определяются лучевой компонентой скорости спутника относительно наблюдателя на Земле.

Максимальная радиальная скорость будет достигаться, когда: 1) спутник на экваториальной орбите, 2) наблюдатель на экваторе Земли, 3) спутник виден на горизонте, около точки своего захода или восхода.

Относительная скорость спутника и наблюдателя определяется орбитальной скоростью спутника и скоростью суточного вращения Земли. Вычисления проще проводить в «синодической» системе отсчёта, где наблюдатель вместе с Землёй неподвижен, а спутник обращается вокруг Земли с относительной угловой скоростью.

Относительная угловая скорость спутника равна ω_отн = (GM/R³)^0,5 – ω_сут = 1,15 · 10^-3 – 7,27 · 10^-5 = 1,08 · 10^-3 рад/с.  Линейная геоцентрическая скорость спутника в такой системе отсчёта равна 1,08 · 10^-3 рад/с · 6700 км = 7,2 км/с.

В точке восхода угол между лучом зрения наблюдателя и направлением скорости спутника равен arccos (R₃ / R₃+h) = 18°. Лучевая компонента скорости равна 7,2 км/с · cos 18° = 6,85 км/с.

Соответственно, по формуле Доплера, красное и фиолетовое смещения будут равны 6,85 / 3· 10⁵ = 2,3 · 10^-5.

 

 

2. На какой широте, перемещаясь на 1 м в сторону, мы меняем местное звёздное время на 1 час? В какую сторону нужно перемещаться для наиболее «эффективного» изменения местного звёздного времени?

3. Рассчитайте равновесную температуру тела на поверхности Земли, если известно, что оно полностью поглощает только видимое излучение. Атмосферным поглощением пренебречь.

4. Сколько времени длится на космической станции «ночь», если станция находится на высоте 420 км над поверхностью Земли и движется в плоскости экватора?

5. Сколько солнечной энергии в секунду собирает параболическое зеркало, расположенное на орбите около Земли, если от фокуса до основания параболы 2 м; а радиус «тарелки» зеркала 0.5 м?

Решения задач 2-5 приведены в разделе «9 класс».

 

 

6. Если мы находимся на МКС, с какого расстояния мы увидим в телескоп с объективом D=30 см и окуляром d = 10 мм, квадратный лист алюминия площадью 1 м²? Считаем, что лист алюминия находится в противостоянии Солнцу.

Решение

Считаем, что лист находится не слишком далеко от орбиты Земли (и МКС), так что можно считать расстояние от Солнца до листа равным 1 а.е. Полученный ответ позволит нам оценить правдоподобность такого приближения.

Лист расположен перпендикулярно потоку солнечных лучей, и плотность потока падающей на лист энергии равна «солнечной постоянной» (примерно 1360 Вт/м²). Альбедо алюминия составляет около 0,7, так что поток отражённой энергии (фактически – светимость листа) равен L = 1360 Вт/м² · 1 м² · 0,7 = 950 Вт.

Плотность потока отражённого листом света, падающая в телескоп на МКС, равна L / 2πS² (S – расстояние от МКС до листа; считаем, что лист отражает равномерно во все стороны). Телескоп увеличивает этот поток в k = D²/d² = 900 раз. Для того, чтобы разглядеть глазом этот лист в телескоп, итоговый увеличенный поток должен соответствовать светилу +6^m.

Сравнивая поток от листа с потоком от Солнца, по закону Погсона получаем:

(950 / 2πS²) / 1360 = 2.512 ^{-26.8 – 6}

Отсюда S² = 950 / 1360 · 2.512 ^32.8 = 9,2 · 10¹² м², и S = 3 тыс. км.

Действительно, S << 1 а.е., так что наше изначальное предположение вполне оправдано.

 

 

7. В тесной двойной системе менее массивный компонент является двойником Солнца, а более массивный – двойником звезды Сириус А. Период обращения компонент вокруг общего центра масс составляет 60 часов. Вокруг этой пары с периодом 5 земных лет вращается планета, похожая на Землю. Рассчитайте равновесную температуру на планете. Парниковым эффектом и внутренними источниками энергии планеты пренебречь.

Решение

Чтобы точнее понять геометрию и механику системы, рассчитаем расстояние между двумя звёздами и радиус орбиты планеты.

Из третьего закона Кеплера в «правильной» системе единиц T² (M₁ + M₂) = (R₁+R₂)³.

По условию M₁ = Mc, M₂ = 2 Mc, Т = 60 часов = 6,84 · 10^-3 года. Поэтому расстояние между звёздами равно 0,052 а.е.

Аналогично для радиуса орбиты планеты получаем значение 4,22 а.е. Фактически расстояние между звёздами много меньше радиуса орбиты планеты, так что две звезды можно считать находящимися на одном расстоянии от неё.

Суммарная светимость двух звёзд составляет около 26 солнечных. Плотность потока энергии на поверхность планеты будет равна 1360 · 26 / 4.22² = 1985 Вт/м².

Если помнить (или найти), что эффективная температура Земли при потоке 1360 Вт/м² примерно равна 250 К, то равновесная температура нашей планеты будет равна 250 · (1985/1360)^0,25 = 275 K.

Тот же результат можно получить прямым вычислением эффективной температуры через потоки энергии и альбедо (которое равно альбедо Земли из условия «похожести» планет).

 

 

8. Компоненты двойной системы похожи на Солнце и находятся на расстоянии 3 а.е. друг от друга. Посередине между ними расположен тонкий плоский солнечный парус, одна сторона которого – абсолютно чёрная – «смотрит» на одну звезду, другая – абсолютно белая – смотрит на другую звезду. Площадь паруса 8 м², масса 300 г. Какое ускорение будет у солнечного паруса в начальный момент времени? В какой точке пространства нужно поместить этот парус, чтобы его ускорение было нулевым?

Решение

Световое давление на чёрную сторону паруса равно плотности потока энергии, приходящей на сторону паруса, делённой на скорость света. Световое давление на белую (отражающую) сторону ровно в два раза больше.

Плотность потока энергии от Солнца на расстоянии 1,5 а.е. легко вычисляется из значения «солнечной постоянной» для Земли: W = 1360 Вт/м² / 1,5² = 604 Вт/м².

Считаем давление: P_black = 604 / 3·10⁸ = 2 мкПа, P_white = 4 мкПа.

Суммарная сила действует по направлению чёрной стороны паруса и равна F = (P_white – P_black) S = 16 мкН, ускорение паруса равно a = F/m = 53 мкм/с². Для масштаба: за первый час своего движения такой парус пройдёт около 340 м и наберёт скорость около 20 см/с. Впрочем, в космосе спешить некуда.

Для достижения равновесия сил нам нужно сдвинуть парус в направлении «чёрной» его стороны. Тогда поток на чёрную сторону увеличится, а на белую уменьшится.

При сдвиге на Х м давление на чёрную сторону равно 2 мкПа · (1,5 а.е. / (1,5 а.е. – Х))², давление на отражающую сторону равно 4 мкПа · (1,5 а.е. / (1,5 а.е. + Х))².

Приравнивая давления, получаем:

(1,5 а.е. + Х) / (1,5 а.е. – Х) = 1,41

Отсюда необходимый сдвиг равен Х = 0,88 а.е.

 

 

9. Как известно, Деда Мороза можно увидеть либо в красной, либо в синей шубе. Предполагая, что шуба у него на самом деле всё время зелёная, а кажущееся «смещение» цвета объясняется высокой скоростью его передвижения, оцените эту скорость.

Решение задачи 9 приведено в разделе «9 класс».

 

 

Всесибирская открытая
олимпиада школьников по астрономии