Дистанционный отборочный этап

Класс

1. Компоненты двойной системы похожи на Солнце и находятся на расстоянии 3 а.е. друг от друга. Посередине между ними расположен тонкий плоский солнечный парус, одна сторона которого – абсолютно чёрная – «смотрит» на одну звезду, другая – абсолютно белая – смотрит на другую звезду. Площадь паруса 8 м², масса 300 г. Какое ускорение будет у солнечного паруса в начальный момент времени? В какой точке пространства нужно поместить этот парус, чтобы его ускорение было нулевым?

Решение задачи приведено в разделе «10 класс»

 

 

2. Высота экваториальной орбиты спутника 1000 км, для наблюдателя на поверхности Земли спутник проходит через зенит. Выведите зависимость видимой угловой скорости спутника для наблюдателя от времени (t=0 – момент начала наблюдения). Начертите графики.

Решение

Орбита спутника экваториальная, для наблюдателя спутник проходит через зенит, значит, наблюдатель находится на земном экваторе.

Перейдём во вращающуюся систему отсчёта, в которой Земля (и наблюдатель) покоится. В этой системе отсчёта спутник обращается вокруг Земли против часовой стрелки с постоянной геоцентрической угловой скоростью ω_отн = ω_С – ω_З = (GM/(R+h)³)^1/2 – 2π/86400 = 9.3 · 10^-4 рад/с.

Линейная скорость спутника в этой СО также будет постоянна по модулю и равна 6,83 км/с.

Однако из-за того, что наблюдатель находится не в центре вращения, видимая угловая скорость спутника будет изменяться со временем. Видимая угловая скорость определяется тангенциальной компонентой линейной скорости спутника и расстоянием от него до наблюдателя: ω = V_⟂ / D.

Обозначим центральный геоцентрический угол между лучом, идущим в зенит наблюдателя, и лучом, идущим в точку текущего положения спутника, за α. Этот угол равномерно изменяется со временем с течением полёта спутника. Тогда по теореме косинусов расстояние между наблюдателем и спутником равно

D = (R² + (R+h)² – 2 R (R+h) cos α)^1/2

Угол между направлением луча зрения наблюдателя и радиус-вектором спутника вычисляется из теоремы синусов: sin β = sin α R / D. Тангенциальная скорость спутника равна V_⟂ = V cos β.

Собирая всё воедино, получаем достаточно громоздкую формулу для видимой угловой скорости, однако, содержащую только известные величины:

ω = ω_отн (R+h) [1 – R² sin² ω_отнt / (R² + (R+h)² – 2 R (R+h) cos ω_отнt) ] / (R² + (R+h)² – 2 R (R+h) cos ω_отнt)^1/2

 

 

3. Метеорит летит к Земле с начальной скоростью (на бесконечном удалении) 13 км/с и прицельным параметром 1.5 Rз. Произойдет ли соударение метеорита с Землей? Если да, то каким должно быть минимальное значение прицельного параметра, чтобы удара не произошло?

Решение

При орбитальном движении работают законы сохранения энергии и момента импульса.

Начальная энергия метеорита равна E = mv₀²/2, начальный момент импульса равен L = mv₀ρ (ρ = 1,5 R_З – прицельный параметр, v₀ = 13 км/с – начальная скорость).

В точке перигелия скорость метеорита равна v_п = L / (mR_П) = v₀ ρ / R_П. Энергия в точке перигелия складывается из кинетической и потенциальной и равна E = mv_П²/2 – GMm/ R_П = mv₀²ρ²/2 R_П² – GMm/ R_П. Закон сохранения энергии превращается в квадратное уравнение относительно радиуса перигелия. Масса метеорита сокращается, а все остальные параметры даны по условию.

Из этого же уравнения можно выразить прицельный параметр через перигелийное расстояние. Метеорит врезается в Землю, если расстояние перигелия меньше радиуса Земли (6371 км).

ρ = R_П (1 + 2GM / (R_Пv₀²))^1/2

Получаем, что минимальное перигелийное расстояние, при котором столкновения не произойдёт, равно 1,32 R₃ = 8400 км. То есть при заданном в условии прицельном параметре метеорит с Землёй не столкнётся, хоть и пройдёт достаточно близко от её поверхности.

 

 

4. Предположим, что вещество в Солнце распределено равномерно и плотность всюду равна среднему значению 1,4 г/см³. Свойства такого «однородного» Солнца должны быть близки к реальному случаю в средней точке, то есть в любой точке, находящейся в слое, расположенном на расстоянии половину радиуса Солнца от его центра. Рассчитайте давление и равновесную температуру Солнца в этой точке. Почему в законе Стефана-Больцмана при расчете светимости звезды мы используем только температуру на поверхности звезды?

Решение

Как известно, внутри однородного шара ускорение свободного падения растёт линейно от центра к поверхности. К этому же выводу легко прийти прямыми расчётами, полагая, что на точку внутри шара гравитационно воздействуют только более глубокие слои.

На тело в средней точке Солнца (на половине радиуса) действует гравитационное давление более высоких слоёв, скомпенсированное световым давлением, действующим изнутри.

Гравитационное давление можно оценить по формуле P = ρg_ср·R/2, где g_ср – среднее ускорение свободного падения на промежутке между R/2 и R. При линейной зависимости ускорения от радиуса g_ср равно ускорению в середине этого промежутка, то есть g_ср = GM/R²· 3/4.

Получаем выражение для давления: P = ρ · GM/R · 3/8 = 10¹⁴ Па.

Это давление должно быть скомпенсировано излучением более глубоких слоёв. Для оценки можно считать поток чёрнотельным и плотность потока равной, по закону Стефана-Больцмана, E = σT⁴. Тогда световое давление P_c = σT⁴ / c, и температура T = (c·P/σ)^1/4 = 27,0 млн К.

 

 

5. С какой минимальной скоростью и в каком направлении космонавт на МКС должен бросить молоток, чтобы молоток упал на Землю быстрее, чем за 1,5 часа?

Решение

Чтобы молоток быстро (за период менее оборота) упал на Землю, нам нужно скомпенсировать его орбитальную (тангенциальную) скорость. Наиболее оптимально это делать, придавая ему импульс против скорости его обращения вокруг Земли.

Тогда текущая точка станет точкой афелия новой орбиты молотка. Перигелий же должен находиться не очень далеко от поверхности Земли, внутри атмосферы (скажем, на высоте 50 км). Тогда мы можем посчитать параметры новой орбиты:

R_A = 6370 + 400 = 6770 км, R_П = 6370 + 50 = 6420 км.

e = (RA – RП) / (RA + RП) = 0,0265

V_A = (GM/R_A · (1 + e))^1/2 = 7,79 км/с

А изначальная скорость молотка (вместе с МКС) равна V₀ = (GM/R_A)^1/2 = 7,69 км/с.

Итоговая скорость молотка = 0,1 км/с = 100 м/с. Бросать надо против орбитальной скорости станции.

 

 

6. В спектре далёкой звезды линия поглощения водорода наблюдается на длине волны 19000 Å. Определить минимальное значение скорости движения звезды относительно Солнца. Может ли звезда принадлежать нашей галактике?

Решение.

В условии задачи не указано (специально), какая именно линия водорода наблюдается на заданной длине волны. Понятно, что если мы возьмём самую «популярную» линию Hα с длиной волны 6563 Å, то полученная ультрарелятивистская скорость удаления звезды не позволит ей быть частью нашей Галактики. Но, возможно, более близкие к длине волны 19000 Å линии водорода обеспечат приемлемую скорость?

Ближайшая линия – 18751 Å (линия Пашена). Красное смещение равно 249 / 18751 = 0,013. По формуле нерелятивистского эффекта Доплера получаем v = 3983 км/с.

Скорость звезды уже не запредельная, но заведомо (на порядок) превышает характерные величины круговых скоростей звёзд в нашей Галактике.

Таким образом, либо звезда за счёт экстремальных взаимодействий прямо сейчас выбрасывается из нашей Галактики, либо этот источник находится за пределами Галактики (что вероятнее).

 

 

7. Видимая звёздная величина звезды спектрального класса K2IV равна +4^m. В каком диапазоне может меняться расстояние до этой звезды? Приведите примеры таких звёзд на земном небе.

Решение

Звезда класса K2IV – субгигант с характерной температурой поверхности около 5 тыс. К. По диаграмме Герцшпрунга-Рассела, характерная абсолютная звёздная величина таких звёзд – от +4^m до +2^m. Если нам известна видимая звёздная величина, то расстояние мы можем определить из закона Погсона и закона обратных квадратов.

D = 10 пк · 2,512^{(m – M) / 2}

Диапазон расстояния получается от 10 пк до 25 пк.

Примерами таких достаточно редких звёзд могут служить Альраи (гамма Цефея), звезда GK Персея (Туманность Фейерверк), U Скорпиона и другие.

 

 

8. Когда в Новосибирске взойдёт Ахернар? Почему?

Решение.

Ахернар, альфа Эридана – яркая звезда южного неба, имеющая склонение около –57° и прямое восхождение 1h37m. Для Новосибирска, находящегося на широте +55°, эта звезда является невосходящей с высотой верхней кульминации около –22°.

Таким образом, ответ, сразу приходящий в голову – Ахернар никогда в Новосибирске не взойдёт. Однако этот ответ не соответствует действительности.

Из-за прецессии земной оси северный и южный полюса мира движутся по окружности вокруг полюсов эклиптики со средней скоростью около 50" в год, совершая полный оборот примерно за 26 тыс. лет. Список «поляриссим» – звёзд, около которых в разное время будет проходить северный полюс мира – можно найти, например, в «Википедии». Соответственно, изменяются и экваториальные координаты звёзд. Так что можно надеяться, что когда-нибудь склонение Ахернара превысит значение -35°, и он будет видим в Новосибирске.

Точный расчёт времени, хоть и не представляет особой сложности для знакомых со сферической тригонометрией, выходит за рамки необходимого в данной задаче. Для примерной оценки сроков достаточно оценить угловое расстояние от Ахернара до некоторых звёзд-поляриссим.

Расстояние на небесной сфере можно вычислить разными методами, например, через скалярное произведение радиус-векторов. С одной стороны, оно равно косинусу угла между векторами, с другой – выражается через координаты:

cos ϕ = sin δ₁ sin δ₂ + cos δ₁ cos δ₂ cos ΔRA

Например, примерно через 5 тысяч лет полярной звездой будет Альдерамин (альфа Цефея) с современными координатами RA = 21h18m, δ = 62°35’. Расстояние между Альдерамином и Ахернаром, посчитанное по приведённой выше формуле, составляет около 130°, что приводит к увеличению склонения Ахернара до -40°. Уже лучше, но недостаточно.

Следующая поляриссима (примерно через 7 тысяч лет) – Денеб, RA = 20h41m, δ = +45°. Расстояние от Ахернара – около 119°, склонение Ахернара в эту эпоху – около -29°. Ахернар стал восходящей звездой для Новосибирска с высотой верхней кульминации около +6°.

Остаётся надеяться, что Новосибирск проживёт ещё 7 тысяч лет, или по крайней мере на этом месте будет кому наблюдать восход Ахернара примерно в 9000 году нашей эры.