Дистанционный отборочный этап

Дистанционный отборочный этап

Классы

1. Предположим, что границы пояса Койпера находятся в орбитальном резонансе с периодом Нептуна 2:3 и 1:2, а толщина пояса ограничена наклонением орбиты Плутона к эклиптике. Считая, что в поясе Койпера около 70000 объектов с диаметром 100 км и более, рассчитайте среднее расстояние между соседними такими объектами. Ответ дайте в километрах с разумной точностью.

Решение.

Из условий про орбитальные резонансы найдём радиусы границ пояса Койпера. Внутренняя граница будет соответствовать периоду обращения T_in = 3/2 T_Н, внешняя – T_ex = 2 Т_Н. Из третьего закона Кеплера (T² = R³) получаем радиусы границ: R_in = 55 а.е., R_ex = 85 а.е.

Толщина пояса Койпера определяется максимальной «высотой» Плутона над плоскостью эклиптики. Эту высоту можно оценить как H = Ra ∙ sin i, где Ra = 49 а.е. – афелийное (максимальное) расстояние Плутона от Солнца, i = 17° – угол наклонения орбиты Плутона. Получаем H = 14.3 а.е.

В итоге получается, что пояс Койпера представляет собой что-то вроде тора (бублика) с радиусом центральной образующей около 70 а.е. и внутренним радиусом 14-15 а.е.

Объём такой фигуры вычисляется как V = 2πR_ц ∙ πR_внутр² = 3,1 ∙10⁵ а.е.³. Считая, что 70000 объектов расположены там более-менее равномерно, получаем, что каждый объект занимает элемент объёма 3,1 ∙10⁵ / 70000 = 4,44 а.е.³. Для оценки расстояния между объектами примем, что этот объём представляет собой куб – тогда расстояние равно длине ребра этого куба.

d_ср = (4,44 а.е.³)^1/3 = 1.64 а.е.

Несмотря на большое количество объектов, из-за колоссального объёма пространства, занимаемого ими, среднее расстояние между «соседями» превышает расстояние от Солнца до Марса.

 

 

2. Используя результаты предыдущей задачи, рассчитайте, телескоп с какой апертурой надо использовать на одном из объектов пояса Койпера (диаметр 100 км), чтобы с него разглядеть другой такой же соседний как диск, а не точку. Считайте, что освещенность наблюдаемого объекта достаточна, а телескоп равнозрачковый.

Решение.

Для того, чтобы разглядеть объект в виде диска, нужно, чтобы его угловой размер, увеличенный телескопом, составил как минимум одну угловую минуту (1’ = 1°/60 = 2,9 ∙ 10^-4 рад).

Угловой размер объекта равен его линейному размеру, делённому на расстояние до него, то есть α = 100 км / 1.64 а.е. = 4 ∙ 10^-7 рад = 8 ∙ 10^-2 угловых секунд.

Таким образом, для увеличения этого размера до 1’ = 60" нам нужен телескоп с угловым коэффициентом увеличения Г = 60 / 8 ∙ 10^-2 = 750. Угловое увеличение телескопа равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра или (в телескопах без диафрагмирования) отношению диаметров входного и выходного отверстия (D/d).

Поскольку по условию телескоп равнозрачковый, диаметр выходного отверстия (окуляра) можно принять равным диаметру человеческого зрачка в темноте (6 мм).

Тогда D = 6 мм ∙ 750 = 4500 мм = 4,5 м. Большой, но вполне возможный для постройки телескоп.

 

 

3. Сколько «фиолетовых» фотонов понадобится, чтобы расплавить и испарить килограмм льда?

Решение.

Определим энергию, нужную для расплавления, нагрева до 100° и испарения 1 кг льда пир начальной температуре 0°.

E = m (λ_пл + с (T – T0) + λ_пар) = 1 кг ∙ (3,3∙10⁵ Дж/кг + 4200 Дж/кг/К ∙ 100 К + 2,26 ∙10⁶ Дж/кг) = 3,0∙10⁶ Дж.

«Фиолетовый» фотон имеет длину волны около 400 нм и энергию E = hc / λ = 5∙10^-19 Дж.

Таким образом, для указанных операций с килограммом льда нам потребуется 3,0∙10⁶ / 5∙10^-19 = 6∙10²⁴ фотонов.

 

 

4. Сколько длится «день» на северном полюсе Луны?

Решение.

Как известно, Луна обращается вокруг Земли «синхронно» – период её орбитального движения совпадает с периодом вращения вокруг собственной оси. С другой стороны, продолжительность полярного дня на северном и южном полюсах Земли не связана с суточным вращением планеты, а связана только с наклоном оси Земли к плоскости её орбиты и с орбитальным вращением.

Как и у Земли, ось вращения Луны наклонена к плоскости эклиптики, поэтому на полюсах Луны полярный день сменяется полярной ночью. Период смены также связан с обращением Луны (вместе с Землёй) вокруг Солнца, так что полярный день на лунном полюсе будет длиться около половины года (не месяца!).

Более тонкие эффекты могут слегка изменить этот оценочный расчёт, но их учёт не входит в рамки данной задачи.

 

 

5. Наблюдатель на Земле в новогоднюю ночь наблюдает Марс в восточной квадратуре. В каком созвездии в этот момент находится Земля для наблюдателя на Марсе?

Решение.

Восточная квадратура (см. рис.) означает, что угловое расстояние на небе от планеты до Солнца (угол элонгации, разница эклиптических долгот) равен 90°. То есть Марс мы с Земли видим на фоне «левого» созвездия, где мы увидим Солнце через ¼ года. Напоминаем, что планеты на рисунке обращаются вокруг Солнца против часовой стрелки.

Наблюдатель на Марсе, наоборот, видит Землю на фоне «правого» созвездия, где Солнце было ¼ оборота назад.

За три месяца до новогодней ночи было начало октября, и Солнце было в созвездии Девы. Там же и будет в земную новогоднюю ночь Земля с точки зрения марсианских астрономов.

 

 

6. Однажды Меркурий закрыл для земного наблюдателя диск Венеры (полностью или частично). Меркурий в это время находился на максимально возможном, с точки зрения земного наблюдателя, удалении от Солнца. Какую долю диска Венеры закрыл Меркурий? Орбиты Венеры и Земли считайте круговыми.

7. Если считать, что событие, описываемое в задаче №6, произошло 10 июня, в каких созвездиях находилось в это время Солнце с точки зрения наблюдателей на Меркурии и Венере? Считайте, что орбиты Меркурия и Венеры лежат в плоскости эклиптики.

8. Используя условие задачи №6, найдите фазы Меркурия и Венеры в описываемый момент времени.

Решение задач 6 – 8.

Из условия следует, что Меркурий находится, во-первых, в максимуме элонгации, а во-вторых, в афелии своей орбиты. Тогда расстояние от Земли до Меркурия по теореме Пифагора равно (1² – 0,47²)^0,5 = 0,88 а.е. Фаза планеты в максимуме элонгации всегда равна 0,5 (Солнце освещает половину видимого диска). Угловое расстояние Меркурия от Солнца (угол элонгации) равно arcsin 0.47 = 28°.

Поскольку Меркурий закрыл Венеру, она находится в этой же точке земного неба, на таком же угловом расстоянии от Солнца. Но для неё это, конечно, не максимум элонгации.

Из треугольника Солнце – Земля – Венера мы можем найти расстояние от Земли до Венеры (по теореме косинусов, из двух прямоугольных треугольников либо просто из правильных масштабных построений на листе бумаги). Отмечаем, что при использовании теоремы косинусов у нас получается два решения для расстояния от Земли до Венеры – и действительно, «луч зрения», соединяющий Землю и Меркурий, пересекает орбиту Венеры дважды. Нам нужно выбрать «дальний» от Земли вариант.

В любом случае, расстояние от Земли до Венеры получается равным 1,42 а.е.

Сравниваем угловые размеры Венеры и Меркурия для земного наблюдателя. Угловой диаметр Венеры в радианах равен отношению диаметра планеты к расстоянию до неё:

d_В = 2·6052 км / 1.42 а.е. = 5,7·10^-5 рад = 11,72 ".

Угловой размер Меркурия, аналогично, равен

d_М = 2·2440 км / 0.88 а.е. = 3,7·10^-5 рад = 7,63 ".

Доля закрытой Меркурием площади Венеры равна отношению квадратов их угловых размеров: d_M² / d_B² = 0,42 = 42%.

Фазу Меркурия мы уже определили, она равна 50 %. Для вычисления фазы Венеры вычислим фазовый угол «Солнце – Венера – Земля». Он легко определяется из соответствующего прямоугольного треугольника и равен ϕ = arcsin 0,47/0,72 = 41°. Тогда фаза Венеры равна (1 + cos ϕ)/2 = 0.88.

Для определения созвездий, на фоне которых видно Солнце для меркурианского и венерианского наблюдателя, заметим сначала, что луч «Земля – Солнце» 10 июня указывает в созвездие Тельца. Луч «Меркурий – Солнце» составляет с лучом «Земля – Солнце» угол 90° – 28° = 62°, то есть с Меркурия Солнце видно в том созвездии, в котором оно будет на небе Земли примерно через 62/360·365 = 63 дня от 10 июня, то есть 12 августа. Это созвездие Льва.

Аналогично, луч «Венера – Солнце» составляет с лучом «Земля – Солнце» угол 111°, и Солнце с Венеры будет видно в созвездии Девы (112 дней от 10 июня = 30 сентября).

 

 

9. В каком месяце звезда Фомальгаут может наблюдаться в Новосибирске в полночь по местному (поясному) времени? На какой высоте над горизонтом?

Решение.

Фомальгаут (α Южной Рыбы) – южная звезда со склонением –29,5°. Для начала проверим, наблюдается ли она вообще в Новосибирске (широта +55°).

Высота верхней кульминации вычисляется по формуле h₊ = 90° – θ + δ (θ – широта, δ – склонение). Для Фомальгаута получаем h₊ = +5,5°, то есть в принципе в нужное время года и суток звезду можно наблюдать, хоть и низко над горизонтом.

Поскольку высота очень небольшая, будем считать, что мы наблюдаем Фомальгаут именно в верхней кульминации. Это возможно, когда момент верхней кульминации близок к местной (поясной) полуночи. Осталось понять, в какой месяц это происходит.

Новосибирск находится в часовом поясе GMT+7 и на долготе +83°. Разница между поясным временем и местным солнечным временем составляет 7 – 83/15 = 1,5 часа, то есть местная полночь соответствует примерно 01:30 солнечного времени.

Звезда Фомальгаут имеет прямое восхождение около 23^h, то есть кульминирует около 23:00 по местному звёздному времени. Звёздное время совпадает с солнечным в день осеннего равноденствия, а потом начинает «убегать» вперёд примерно на 4 минуты за сутки. Нам же надо, наоборот, отступить от солнечного времени примерно 2,5 часа «назад».

Разницу в 2,5 часа мы получаем примерно за 2,5∙60/4 = 37,5 суток, то есть нужный нам момент наступает чуть больше, чем за месяц до осеннего равноденствия, или в середине августа.

К слову, именно в этот период в Новосибирске обычно проводится выездная Летняя астрономическая школа. Правда, Фомальгаут на ней пронаблюдать не получилось, южный горизонт на астроплощадке был, увы, закрыт деревьями до высоты около 15°.

 

Всесибирская открытая
олимпиада школьников по астрономии

Дистанционный отборочный этап

Класс

 

1. Высота экваториальной орбиты спутника 1000 км. Сколько времени в идеале мы можем наблюдать спутник с Земли, если он пролетает через зенит?

Решение

Поскольку спутник на экваториальной орбите и пролетает через зенит, то наблюдатель находится на экваторе Земли. Максимально возможное время наблюдения соответствует ситуации, когда спутник движется по направлению суточного вращения Земли, и мы видим как момент его восхода, так и момент его захода под горизонт.

Период вращения спутника на круговой орбите радиусом 6371 + 1000 = 7371 км можно вычислить напрямую из длины окружности орбиты и первой космической скорости на этой высоте, либо из третьего закона Кеплера, сравнив спутник, например, с Луной. В любом случае, период получается равным около 6300 секунд. Геоцентрическая угловая скорость спутника, таким образом, равна ω₀ = 2π / 6300 = 10^-3 рад/с.

Наблюдатель на поверхности Земли вращается вместе с Землёй с угловой скоростью ω_З = 2π / 86400 = 7,3 · 10^-5 рад/с, поэтому относительная геоцентрическая скорость спутника и наблюдателя будет равна ω₁ = 10^-3 – 7,3 · 10^-5 = 9,3 · 10^-4 рад/с.

Во вращающейся геоцентрической системе отсчёта спутник с относительной угловой скоростью от точки восхода до точки захода должен пройти угол α = 2 arccos R₃ / (R₃+h) = 1.05 рад. Время пролёта, таким образом, составит 1.05 / 9,3 · 10^-4 = 1130 сек = 18.8 мин.

 

 

2. Однажды Меркурий закрыл для земного наблюдателя диск Венеры (полностью или частично). Меркурий в это время находился на максимально возможном, с точки зрения земного наблюдателя, удалении от Солнца. Какую долю диска Венеры закрыл Меркурий? Орбиты Венеры и Земли считайте круговыми.

3. Если считать, что событие, описываемое в задаче №2, произошло 10 июня, в каких созвездиях находилось в это время Солнце с точки зрения наблюдателей на Меркурии и Венере? Считайте, что орбиты Меркурия и Венеры лежат в плоскости эклиптики.

4. Используя условие задачи №2, найдите фазы Меркурия и Венеры в описываемый момент времени.

Решение задач 2-4 приведено в разделе «7-8 класс», задачи 6-8.

5. На какой широте, перемещаясь на 1 м в сторону, мы меняем местное солнечное время на 1 час? В какую сторону нужно перемещаться для наиболее «эффективного» изменения местного солнечного времени?

Решение.

Если шагать на 1 метр по прямой, то к наибольшему изменению солнечного времени приведёт сдвиг вдоль параллели на запад (если мы хотим «замедлить» ход солнечных часов) или на восток (если хотим «ускорить» солнечное время).

Для изменения местного солнечного времени на 1 час нужно сдвинуться на 1/24 длины окружности соответствующей параллели (считаем, что сдвигаемся мы мгновенно). Таким образом, вопрос задачи сводится к нахождению широты, длина окружности параллели которой равна 24 метрам. Понятно, что такая параллель будет крайне близка к северному или южному полюсу Земли.

Длина окружности параллели равна 2π R₃ cos ϕ, поэтому широта равна ϕ = arccos (24 м / 40000 км) = 89.999965°. Это чуть меньше 4 метров от географического полюса:)

 

 

6. Рассчитайте равновесную температуру тела на поверхности Земли, если известно, что оно полностью поглощает лишь видимое излучение.

Решение.

Тело, находящееся в термодинамическом равновесии, должно излучать ровно такой же суммарный поток энергии, как получает от Солнца.

Поскольку форма тела в условии задачи не задана, участники олимпиады могут предполагать любую разумную форму поверхности (плоский лист, куб с освещённой Солнцем гранью, шар и т.д.). Для простоты предположим, что тело представляет собой плоский лист материала площадью 1 м², лежащий перпендикулярно солнечным лучам.

Плотность потока солнечной энергии на земную поверхность в видимых лучах составляет около 600 Вт / м². Полный поток поглощаемой энергии, таким образом, для нашего тела равен 600 Вт.

Нагретое тело, по закону Стефана-Больцмана, излучает с 1 м² своей поверхности поток энергии, равный σT⁴. Отметим, что излучающих поверхностей у нашего тела две, то есть площадь излучения в два раза больше площади поглощения энергии.

Имеем: 2 σT⁴ = 600 Вт/м². Отсюда температура тела T = 270 К. Достаточно холодное.

 

 

7. Сколько времени длится на МКС «ночь», если станция находится на высоте 420 км над поверхностью Земли и движется в плоскости экватора?

Решение

На МКС наступает «ночь», когда она попадает в конус земной тени и с борта станции не видно Солнце. В этот же момент, кстати, мы не видим станцию при наблюдении с Земли, даже если она находится над горизонтом.

Угол раствора конуса земной тени примерно равен видимому угловому диаметру Солнца – 0,5°. Центральный угол дуги, которую проходит станция в ночной части своей орбиты, может быть определен из уравнения: β/2 = 90° – α/2 – arccos (R / (R+h)) = 69.5°, то есть весь угол β = 139°.

Соответственно, прохождение этого центрального угла занимает 139/360 = 0,39 от периода обращения МКС, то есть около 36 минут.

 

 

8. Сколько солнечной энергии в секунду собирает параболическое зеркало, расположенное на орбите около Земли, если от фокуса до основания параболы 2 м, а радиус «тарелки» зеркала 0.5 м?

Решение.

Площадь, на которую приходит собираемая антенной энергия, равна площади круга «тарелки» зеркала и не зависит от кривизны его поверхности.

Поэтому S = π · 0,5² = 0,785 м², и на антенну приходит мощность 1360 · 0,78 = 1070 Вт.

Расстояние от фокуса до поверхности позволяет определить площадь самой поверхности антенны, но в расчётах падающего потока энергии важна именно проекция площади на перпендикулярную лучам Солнца плоскость. Так что эта величина для расчётов не нужна.

 

 

9. Как известно, Деда Мороза можно увидеть либо в красной, либо в синей шубе. Предполагая, что шуба у него на самом деле всё время зелёная, а кажущееся «смещение» цвета объясняется высокой скоростью его передвижения, оцените эту скорость.

Решение

Примем длину волны зелёного цвета за 550 нм, красного за 650 нм, синего за 450 нм.

Изменение цвета при движении источника излучения описывается законом Доплера: относительное изменение длины волны равно скорости в единицах скорости света.

Имеем: v / c = 100 нм / 550 нм = 0.18, и скорость равна 0.18 с = 54,5 тыс. км/с.

Дед Мороз получается достаточно релятивистский, что в целом соответствует техническому заданию по вручению подарков всем детям Земли за одну ночь.

 

 

Всесибирская открытая
олимпиада школьников по астрономии