Мы с Вами начинаем изучать новую тему: Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы будем пользоваться тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

I. Уравнения и

Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а — её ордината.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .

Помним: Уравнения или решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

  . Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

2.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой — 1:

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

3. Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1: И записываем ответ:

4. Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Вывод: чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .

5. На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0. Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).И записываем ответ:

6.    Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из /2 прибавлением целого числа углов (полуоборотов):

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Вывод: Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .

 II. Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.

 

7.  Имеем вертикальную пару точек с абсциссой ½. Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой  (вспомните первое полезное наблюдение!). Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описыва-ются формулой: Обе серии решений можно описать одной формулой:	8.
9.	10.
11.	12.

 

III. Уравнение

Уравнение  также имеет решения лишь при . Случай рассмотрен выше. Решения уравнения при изображаются вертикальной парой точек с абсциссой a:

Как вы уже догадались, сейчас возникнет новая функция – арккосинус. Кто лучший кандидат в арккосинусы – верхняя или нижняя точка? Принципиальной разницы нет, но люди выбрали верхнюю. «Арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке .

Арккосинусом числа a называется угол , такой, что .

Обозначение: . Область определения арккосинуса – отрезок [-1; 1]. Область значений –отрезок .

Промежуток выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно единственное значение угла из промежутка .

Например:

, так как и

, так как и

    

 

Теперь мы можем решить уравнение для произвольного a, удовлетворяющего неравенству .

Снова отметим на окружности вертикальную пару точек с абсциссой a. Углы, отвечающие верхней точке, обозначим x₁. Углы, отвечающие нижней точке, обозначим x₂.

Легко написать формулы для этих углов:

Объединяем их в одну формулу и записываем ответ:

Внимание! Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Имеет место следующее очевидное соотношение: