Тема 4.1 Наука «Геометрия» и история развития

 

Практические задания:

 

Ответить на вопросы:

 

1) Как переводиться геометрия с греческого?

2) Какие свойства связаны с именем древнегреческого математика Фалеса?

3) Назовите первое логическое построение геометрии.

4) Как Евклид определяет понятия: точки, линия, прямая, поверхность?

5) Назовите пять постулатов геометрии выделенными Евклидом.

6) Какой вклад внес Рене Декарт в развитии геометрии?

7) Кто первым построил неевклидову геометрию? В чем отличие?

8) Какой вклад внес немецкий математик Д. Гильберт?

 

Задание 1. Изобразите треугольники:

а) равносторонний;

б) равнобедренный;

в) прямоугольный;

г) разносторонний.

 

Задание 2. Изобразите четырехугольник:

а) квадрат;

б) прямоугольник;

в) трапеция;

г) ромб;

д) параллелограмм.

 

Задание 3. Изобразите овал и круг.

 

Задание 4. Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.

 

Задание 5. Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой.

 

Задание 6. Верны ли следующие утверждения:

а) Если две прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны.

б) Если при пересечении двух параллельных прямых третьей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

 

Задание 7. Отвечают ли требованиям, предъявляемым к определениям понятий, следующие формулировки:

 а) Треугольник, у которого две стороны и два угла равны, называется равнобедренным.

б) Средней линией треугольника называется прямая, проходящая через середины двух его сторон.

в) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и параллельный основанию.

 

Задание 8. Обоснуйте следующий способ построения параллелограмма, предложенный младшим школьникам: «Проведи две пересекающиеся прямые. При помощи циркуля отложи на одной прямой от точки пересечения равные отрезки. Затем на другой прямой таким же образом отложи равные отрезки (не обязательно такой же длины, что и на первой прямой). Получится параллелограмм».

 

Задание 9. Можно ли сложить паркет из правильных:

а) треугольников,

б) пятиугольников;

в) восьмиугольников;

г) восьмиугольников и квадратов?

 

 

 

Понятие геометрической фигуры. Виды геометрических фигур.

 

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.

Линия – неопределяемое понятие. С линией знакомят, моделируя ее из шнура или рисуя на доске, на листе бумаги. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.

Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.

Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньше развернутого, называется тупым.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые. Прямоугольным – треугольник, который имеет прямой угол. Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.

Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром. Но поскольку в начальных классах не дается это классическое определение, знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности с помощью циркуля. Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Круг-часть плоскости, ограниченная окружностью.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.

Цилиндр – геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований. Конус – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – его вершину – с точками некоторого круга – основание конуса.

Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.