2020-05-11
32
3.1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1
По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 3 и 4).
Таблица 3
Себестоимость молока, руб./л
| Сельскохозяйственное предприятие | Предпоследняя цифра номера зачетной книжки | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 1 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 |
| 2 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 |
| 3 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 |
| 4 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 |
| 5 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 |
| 6 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 |
| 7 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 |
| 8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 |
| 9 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 |
| 10 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 |
10
Прогнозное значение средней продуктивности молока:
Прогнозное значение себестоимости молока:
ŷр = 2,13 + 0,0245·211,53 = 7,31 руб./л.
Методические указания к задаче 2
Пример
По 33 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 10).
Таблица 10
| Показатель | Признак | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение (σ) | Линейные коэффициенты парной корреляции |
| Урожайность зерновых, ц/га | у | 19,5 | 8,4 |
|
| Внесено органических удобрений, ц/га | х1 | 25,0 | 3,2 | |
| Насыщенность севооборота зерновыми, % | х2 | 71 | 13,0 |
=0,115Требуется:
1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.
2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.
3. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
4. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.
19
показывает, что 93,5 % изменений в уровне себестоимости объясняется различной продуктивностью молока.
5. Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:
Вычисленное tфакт сравним с табличным (критическим) значением tтабл при принятом уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы
ν = n – 2 = 10 – 2 = 8 (приложение 1). Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,31.
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между себестоимостью и продуктивностью молока.
6. Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение Fфакт с табличным Fтабл.
Фактическое значение Fфакт определяется по формуле:
,
В нашем случае:
Табличное значение Fфакт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,05, k1 = m = 1 и k2 = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 (приложение 2) равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи 
, то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значение себестоимости молока при среднем росте продуктивности молока на 10 %.
18
Таблица 4
Средняя продуктивность молока, кг
| Сельскохозяйственное предприятие | Последняя цифра номера зачетной книжки | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 1 | 187 | 153 | 121 | 246 | 139 | 175 | 225 | 206 | 141 | 229 |
| 2 | 158 | 120 | 220 | 138 | 174 | 222 | 205 | 140 | 228 | 192 |
| 3 | 125 | 244 | 137 | 173 | 201 | 202 | 139 | 227 | 191 | 163 |
| 4 | 249 | 171 | 172 | 220 | 221 | 136 | 226 | 161 | 162 | 130 |
| 5 | 141 | 136 | 219 | 200 | 135 | 223 | 189 | 190 | 129 | 254 |
| 6 | 176 | 218 | 199 | 134 | 222 | 157 | 160 | 128 | 253 | 146 |
| 7 | 223 | 198 | 133 | 221 | 185 | 186 | 143 | 252 | 145 | 181 |
| 8 | 203 | 132 | 245 | 184 | 156 | 124 | 251 | 144 | 207 | 208 |
| 9 | 137 | 219 | 183 | 122 | 123 | 248 | 127 | 179 | 227 | 228 |
| 10 | 224 | 182 | 154 | 155 | 247 | 140 | 178 | 226 | 180 | 142 |
Требуется:
1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.
Задача 2
По сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о количестве предприятий, средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 5, 6 и 7).
11
Таблица 5
Количество предприятий
| Последняя цифра номера зачетной книжки | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Количество предприятий | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
Таблица 6
Урожайность зерновых, количество внесенных удобрений и продолжительность вегетационного периода
| Предпоследняя цифра номера зачетной книжки | Урожайность зерновых, | Внесено органических удобрений, | Насыщенность севооборота зерновыми, | |||
| Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 0 | 12,5 | 5,0 | 10 | 1,5 | 45 | 8,0 |
| 1 | 13,5 | 5,4 | 12 | 1,7 | 48 | 8,5 |
| 2 | 15,0 | 5,8 | 14 | 1,9 | 51 | 9,0 |
| 3 | 16,0 | 6,2 | 16 | 2,1 | 54 | 9,5 |
| 4 | 16,5 | 6,6 | 18 | 2,3 | 57 | 10,0 |
| 5 | 17,0 | 7,0 | 20 | 2,5 | 60 | 10,5 |
| 6 | 17,5 | 7,4 | 22 | 2,7 | 63 | 11,0 |
| 7 | 18,5 | 7,8 | 24 | 2,9 | 66 | 11,5 |
| 8 | 21,5 | 8,2 | 26 | 3,1 | 69 | 12,0 |
| 9 | 22,0 | 8,6 | 28 | 3,3 | 72 | 12,5 |
12
;
.
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте средней продуктивности молока на 1% себестоимость молока повышается на 0,69 %.
4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:
,
где 
– средняя сумма произведения признаков;
и 
– средние квадратические отклонения по х и у.
Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл. 9 и в пункте 3 решения. Отсюда:
;
;
;
.
Коэффициент корреляции 
свидетельствует, что связь между признаками очень тесная и прямая. Коэффициент детерминации
17
Уравнение регрессии имеет вид:
ŷх = 2,13 + 0,0245х.
Коэффициент регрессии b = 0,0245 показывает, что при росте средней продуктивности молока на 1 кг себестоимость молока в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 2,45 копейки за литр.
2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
где 
– ошибка аппроксимации.
Подставляя в уравнение регрессии х, определим теоретические (расчетные) значения ŷх (табл. 9). Найдем величину средней ошибки аппроксимации 
. Для этого заполним две последние графы табл. 9. Отсюда:
.
В среднем расчетные значения себестоимости молока отклоняются от фактических на 3,17%. Качество уравнения регрессии можно оценить как высокое, так как средняя ошибка аппроксимации меньше допустимого предела (8-10%).
3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности 
по формуле:
где 
и 
– средние значения признаков.
Отсюда:
16
Таблица 7
Линейные коэффициенты парной корреляции
| Последняя цифра номера зачетной книжки | 
| 
| 
|
| 0 | 0,33 | 0,48 | 0,04 |
| 1 | 0,34 | 0,46 | 0,05 |
| 2 | 0,35 | 0,44 | 0,06 |
| 3 | 0,36 | 0,42 | 0,07 |
| 4 | 0,37 | 0,40 | 0,08 |
| 5 | 0,38 | 0,38 | 0,09 |
| 6 | 0,39 | 0,36 | 0,10 |
| 7 | 0,40 | 0,34 | 0,11 |
| 8 | 0,41 | 0,32 | 0,12 |
| 9 | 0,42 | 0,30 | 0,13 |
Требуется:
1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.
2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.
3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.
3. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Методические указания к задаче 1
Пример
По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 8).
Таблица 8
| Себестоимость молока, руб./л | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 |
| Средняя продук-тивность молока, кг | 197 | 168 | 135 | 259 | 151 | 186 | 233 | 213 | 147 | 234 |
13
Требуется:
1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.
Решение
2. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
ŷх = а + bх,
где ŷх – себестоимость молока, руб./л;
х – средняя продуктивность молока, кг;
а, b – параметры уравнения.
Для определения параметров уравнения а и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просуммируем:
,
где n – число единиц совокупности.
Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 9).
Подставим полученные данные в систему уравнений:
14
Таблица 9
| Сельскохозяйственное предприятие | Себестоимость молока, руб./л | Средняя продуктивность молока, кг | у2 | х2 | ху | ŷх | у- ŷх |
|
| у | х | |||||||
| 1 | 7,5 | 197 | 56,25 | 38809 | 1477,5 | 6,96 | 0,54 | 7,2 |
| 2 | 6,0 | 168 | 36,00 | 28224 | 1008,0 | 6,25 | -0,25 | 4,1 |
| 3 | 5,2 | 135 | 27,04 | 18225 | 702,0 | 5,44 | -0,24 | 4,6 |
| 4 | 8,3 | 259 | 68,89 | 67081 | 2149,7 | 8,48 | -0,18 | 2,1 |
| 5 | 5,8 | 151 | 33,64 | 22801 | 875,8 | 5,83 | -0,03 | 0,5 |
| 6 | 6,9 | 186 | 47,61 | 34596 | 1283,4 | 6,69 | 0,21 | 3,1 |
| 7 | 7,8 | 233 | 60,84 | 54289 | 1817,4 | 7,84 | -0,04 | 0,5 |
| 8 | 7,0 | 213 | 49,00 | 45369 | 1491,0 | 7,35 | -0,35 | 5,0 |
| 9 | 5,9 | 147 | 34,81 | 21609 | 867,3 | 5,73 | 0,17 | 2,9 |
| 10 | 8,0 | 234 | 64,00 | 54756 | 1872,0 | 7,86 | 0,14 | 1,7 |
| Сум-ма | 68,4 | 1923 | 478,09 | 385759 | 13544,1 | × | × | 31,7 |
Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при а (в первом уравнении на 10, во втором на 1923):
Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:
0,203 = 8,3b; b = 0,0245.
Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение а:
а = 6,84 – 192,3 · 0,0245 = 2,13.
Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:
15
