Достаточные условия устойчивости относительного положения равновесия обобщенно – консервативной системы

Пусть в равномерно вращающейся системе отсчета движение и взаимодействие тел определяется потенциальными силами, Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она постоянна на движениях системы:

Положения относительного равновесия    определяются из условия:

Теорема. Если в положении относительного равновесия  обобщенно – консервативной системы функция W имеет локальный минимум, то относительное равновесие устойчиво по относительным обобщенным координатам и скоростям.

Устойчивость проверяется по положительной определенности матрицы

  Малые колебания в консервативных и обобщенно – консервативных системах.

Малые колебания (движения) есть решения линеаризованных уравнений движения около положений равновесия консервативных систем.

 В переменных Гамильтона линеаризация есть замена уравнений движения линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это есть 2n уравнений первого порядка

В переменных Лагранжа уравнения малых колебанийконсервативной системы имеют вид

и есть система n линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, где постоянные элементы   матрицы А определяются через элементы матрицы кинетической энергии

а элементы матрицы С определяются потенциальной энергией системы   

Различные решения уравнений малых колебаний определяются значениями собственных чисел характеристического уравнения матрицы С по отношению к матрице А:

Так как матрица С симметрична, а матрица А симметрична и положительно определена, то все собственные числа действительны, а соответствующие им собственные векторы взаимно ортогональны по метрике матрицы А:

Известно, что пару квадратичных форм линейной заменой переменных

можно привести к главным осям (в них матрица С диагональна, а матрица А единична)

В главных осях  уравнения малых колебаний имеют вид:

То есть система этих уравнений распадается на n независимых малых движений, в каждом из которых возможны три случая:

1. , тогда решение  (гармоническое колебание, главное, собственное колебание, есть главная частота колебаний).

2. , тогда решение    (безразличное равновесие).

3. , тогда решение  (малое движение, не гармоническое колебание),

Собственный вектор , соответствующий собственному числу , находится из уравнения:

Все собственные векторы ортогональны по матрице А:

Собственные векторы   являются столбцами с матрице Р из (19.5), так что запись решений уравнений (19.2) возможна в двух эквивалентных формах:

Если среди   есть кратные собственные числа, то теория остается верна.