Определение и его связи

Глава 6. Интегральная формула Коши.

Параграф 1. Интегральная формула Коши для функции, аналитической в односвязной и многосвязной области.

Замечание.

Запишем формулу из теоремы Коши для многосвязной области в виде

В частности для двухсвязной области

то есть интеграл от функции, аналитической в проколотой окрестности точки  не зависит от контура, окружающего точку.

В главе 5 мы вычислили интеграл от  по окружности с центром  Теперь мы можем сказать, что для любого замкнутого кусочно-гладкого контура , содержащего внутри себя точку

Квант. 06.01.01. Интегральная формула Коши (Т)

Рассмотрим функцию  аналитическую в односвязной или многосвязной области

  Пусть  непрерывна в замкнутой области  и точка

 

Тогда

 

 

Доказательство.

Пусть -связная область с границей

Рассмотрим в области  функцию

Так как

то функция  непрерывна в  и, следовательно, ограничена по модулю

Вырежем точку  окружностью  радиуса  лежащей в области

Получим -связную область  с границей

Функция  аналитична в области  и непрерывна в замкнутой области  Тогда по теореме Коши для многосвязной области

Или

Оценим интеграл

Вследствие этого имеем

Интегральная формула Коши доказана.

 

Математические примеры и задачи.

Используя интегральную формулу Коши и теорему Коши, вычислить интеграл по замкнутому контуру.

Решение.

 Используем интегральную формулу Коши.

поскольку функция

аналитична в круге  и по формуле Коши

 Используем интегральную формулу Коши.

поскольку функция

аналитична в круге  и по формуле Коши

 

Поскольку подынтегральная функция аналитична в круге  и непрерывна в замкнутом круге , то по теореме Коши

Параграф 2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.

Квант. 06.02.01. Интеграл типа Коши (О)

Определение и его связи.

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую  и, заданную на  непрерывную функцию

  Образуем интеграл, зависящий от параметра

Тогда

1. этот интеграл называется интегралом типа Коши

2. функция  называется плотностью интеграла

3. функция  называется ядром Коши